Many impressive looking limits can be evaluated easily (especially by the person who makes them up), because they are really lower or upper sums in disguise. With this remark as hint, evaluate each of the following. (Warning: the list contains one red herring which can be evaluated by elementary considerations.)
(vi) \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)).

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right).
Informações dadas:
  • Temos uma soma com n termos, o k-ésimo termo é \dfrac{n}{n^{2}+k^{2}} para k=1,2,\dots,n.
  • Quer-se o limite dessa soma quando n tende a infinito.
  • Nenhuma outra informação ou figura foi dada.

Passo 2

Vou transformar cada termo para enxergar a soma como uma soma do tipo Riemann. Observe a manipulação algébrica simples:
\frac{n}{n^{2}+k^{2}}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+\left(\dfrac{k}{n}\right)^{2}}.
Explicando devagar: dividi numerador e denominador por n^{2}. Assim o fator \dfrac{n}{n^{2}}=\dfrac{1}{n} aparece multiplicando a função de \dfrac{k}{n}.

Passo 3

Reescrevendo a soma inteira usando essa forma:
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+\left(\dfrac{k}{n}\right)^{2}}.
Isso é exatamente uma soma do tipo
S_n=\sum_{k=1}^{n}\Delta x\; f(x_k)
com \Delta x=\dfrac{1}{n}, x_k=\dfrac{k}{n} e
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Explicando o conceito: somas da forma \sum_{k=1}^{n}\Delta x\; f(x_k) são aproximações (somas de Riemann) da integral \int_{0}^{1} f(x)\,dx quando os x_k estão distribuídos em [0,1] e \Delta x\to0. Aqui os pontos x_k=k/n são os pontos da partição regular de [0,1] e \Delta x=1/n.

Passo 4

Para aplicar a convergência de soma de Riemann para integral, preciso apenas notar que f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}} é contínua em [0,1]. Uma função contínua em um intervalo fechado tem somas de Riemann que convergem para sua integral sobre esse intervalo quando o tamanho das subintervalos tende a zero. Como \Delta x=1/n\to0, vale
\lim_{n\to\infty} S_n=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Breve justificativa alternativa (mais elementar): f é positiva e decrescente em [0,1], então a soma com pontos à direita ( x_k=k/n) é uma soma de Riemann à direita que fica aprisionada entre integrais que têm a mesma medida quando n\to\infty; portanto a diferença vai a zero. Isso dá rigor ao passo anterior.

Passo 5

Agora calculo a integral. A primitiva de f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}} é \arctan x, pois \dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Logo
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\arctan(1)-\arctan(0).
Sabendo que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(0)=0, obtemos
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Concluindo, a soma original converge para essa integral. Portanto
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)=\frac{\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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