Many impressive looking limits can be evaluated easily (especially by the person who makes them up), because they are really lower or upper sums in disguise. With this remark as hint, evaluate each of the following. (Warning: the list contains one red herring which can be evaluated by elementary considerations.)
(vi)
).
(vi) ).
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- Temos uma soma com
termos, o -ésimo termo é para . - Quer-se o limite dessa soma quando
tende a infinito. - Nenhuma outra informação ou figura foi dada.
Passo 2
Vou transformar cada termo para enxergar a soma como uma soma do tipo Riemann. Observe a manipulação algébrica simples:
Explicando devagar: dividi numerador e denominador por
. Assim o fator
aparece multiplicando a função de
.
Passo 3
Reescrevendo a soma inteira usando essa forma:
Isso é exatamente uma soma do tipo
com
,
e
Explicando o conceito: somas da forma
são aproximações (somas de Riemann) da integral
quando os
estão distribuídos em
e
. Aqui os pontos
são os pontos da partição regular de
e
.
Passo 4
Para aplicar a convergência de soma de Riemann para integral, preciso apenas notar que
é contínua em
. Uma função contínua em um intervalo fechado tem somas de Riemann que convergem para sua integral sobre esse intervalo quando o tamanho das subintervalos tende a zero. Como
, vale
Breve justificativa alternativa (mais elementar):
é positiva e decrescente em
, então a soma com pontos à direita (
) é uma soma de Riemann à direita que fica aprisionada entre integrais que têm a mesma medida quando
; portanto a diferença vai a zero. Isso dá rigor ao passo anterior.
Passo 5
Agora calculo a integral. A primitiva de
é
, pois
. Logo
Sabendo que
e
, obtemos
Passo 6
Concluindo, a soma original converge para essa integral. Portanto