Uma máquina está calibrada para encher sacas de arroz com uma média de 25 cl. Uma amostra aleatória de 15 sacas revelou os seguintes valores (em cl): 25,3 25,9 24,3 26,1 27,0 23,8 24,6 23,7 26,3 25,2 24,8 23,7 25,5 26,2 25,4 Estes dados apresentam evidência de a máquina não estar devidamente calibrada?

Passo 1

O enunciado diz que a máquina deveria encher as sacas com média de 25 cl, mas pegamos 15 medidas e queremos saber se elas mostram que a média real mudou. Isso é um teste de hipóteses para média de uma população com variância desconhecida (ou seja, usamos o teste t de Student). Para resolver vamos precisar:
  • Formular as hipóteses (H₀ e H₁)
  • Calcular a média amostral bar x
  • Calcular o desvio-padrão amostral s
  • Montar a estatística t e comparar com a distribuição t com n-1 graus de liberdade (ou achar o p-valor)

Passo 2

Hipóteses:
H₀: a média real é 25 cl (máquina está calibrada)
H₁: a média real não é 25 cl (máquina descalibrada)
Como não sabemos o desvio-padrão da população, usamos o t de Student.

Passo 3

Calcular a média da amostra:
Dados: 25,3,;25,9,;24,3,;dots,;26,2,;25,4 (15 valores)
bar x ;=;sumi=1^15 xi15 ;=;377,815 ;approx;25,19;cl

Passo 4

Calcular o desvio-padrão amostral s:
  1. Para cada xi, calcule (xi - bar x)^2 e some tudo:
sum (xi-bar x)^2 approx 14,68
2) Divida por n-1=14 e tire raiz:
$$
s ;=;\sqrt{\frac{1}{14}\sum (x_i-\bar x)^2}
;\approx;\sqrt{\frac{14{,}68}{14}}
;\approx;1{,}02;cl
$$

Passo 5

Estatística de teste:
t ;=;bar x - mu0s/raizn ;=;25,19 - 251,02/raiz15 ;approx;0,190,26 ;approx;0,71
Aqui mu0=25 e n=15, logo graus de liberdade =14.

Passo 6

Para um teste bilateral com alpha=0,05, o valor crítico é t0,975,14approx2,145.
Como |0,71|<2,145, não rejeitamos H₀.
Ou, se calcularmos p-valor:
p-valor = 2l(1 - Ft14(0,71)r)approx 0,48
É bem maior que 0,05.

Resposta

Não há evidência estatística (a 5 % de nível) de que a máquina esteja descalibrada.

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