Pretende-se introduzir um novo processo na produção de um certo tipo de esferas para uso industrial. O novo processo mantém a pressão média mas espera-se que consiga reduzir a sua variabilidade, que até agora era sigma^2=14.5. Como a introdução completa do novo processo acarreta custos, resolveu-se proceder c di?! teste, para o qual foram obtidas 16 esferas produzidas de acordo com o novo método. Ao nível de significância de 0,05 e sabendo que a variância da amostra é 6.8, qual a decisão a tomar?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Temos um processo antigo de fabricação de esferas com variância conhecida, . Agora criaram um novo processo e querem ver se ele realmente diminui a variabilidade. Para isso, coletaram uma amostra de esferas e encontraram variância amostral . Com nível de significância , precisamos decidir se rejeitamos a hipótese de que a variância continua sendo ou não.
Conteúdo da matéria: teste de hipótese para variância usando a distribuição qui-quadrado.
O que vamos precisar:
  1. Formular as hipóteses para teste unilateral à esquerda (variância menor).
  2. Calcular a estatística de teste .
  3. Obter o valor crítico da distribuição com graus de liberdade.
  4. Comparar e chegar a uma decisão.

Passo 2

Hipóteses:
  • chi^2 = (n-1),s^2sigma0^2 : (sem redução de variabilidade)
  • : (variabilidade diminuiu)
Vamos usar o teste qui-quadrado porque, sob a suposição de normalidade, a estatística
segue uma distribuição com graus de liberdade.

Passo 3

Calcular a estatística de teste:
chi^2obs = (n-1),s^2sigma0^2 = (16-1)times 6,814,5 = 15 times 6,814,5 approx 10214,5 approx 7,03

Passo 4

Agora, o valor crítico para um teste à esquerda com chi^20,05;,15 approx 7,26, e é
onde é o quantil de 5% da distribuição qui-quadrado com 15 graus de liberdade.

Passo 5

Comparação:
  • Se , rejeitamos .
  • Aqui , então estamos na região de rejeição.

Resposta

Rejeitamos ao nível de 5%. Concluímos que o novo processo realmente reduz a variabilidade das esferas.

Exercícios relacionados