Uma máquina com excitação independente, de potência nominal de 25 kW a uma tensão de terminal V_{t} de 125 V , opera com velocidade constante de 3000 rpm (a corrente do enrolamento de campo I_{c} é constante no valor de 2,6 A e nesta situação a tensão do enrolamento de armadura V_{a} com seus terminais em aberto é de 125 V ). A resistência de armadura R_{a} é igual a 0,02 \Omega. Nestas condições de operação da máquina CC:
Com uma tensão de terminal V_{t} de 124 V , determine a corrente de armadura, I_{a}, a potência de terminal, P_{t}, a potência eletromagnética, P_{a}, e o conjugado mecânico, \mathfrak{J}_{m e c};

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados fornecidos:
  • Potência nominal (apenas informação de máquina): 25\\ \mathrm{kW}.
  • Velocidade: 3000\\ \text{rpm}.
  • Corrente de excitação (campo): I_{c}=2{,}6\\ \mathrm{A}.
  • Tensão no enrolamento de armadura com terminais em aberto (isto é, tensão gerada em vazio) para I_{c}=2{,}6\\ \mathrm{A} e 3000\\ \text{rpm}: E=125\\ \mathrm{V}. (O enunciado diz que com I_c constante a tensão do enrolamento de armadura com terminais em aberto é 125\\ \mathrm{V}; isto é o fem gerada \emph{E}.)
  • Resistência de armadura: R_{a}=0{,}02\\ \Omega.
  • Situação a analisar: a tensão de terminal quando a máquina está sob carga é V_{t}=124\\ \mathrm{V}.
O que o enunciado pede (quais incógnitas):
  1. Corrente de armadura I_{a}.
  2. Potência de terminal P_{t}.
  3. Potência eletromagnética (potência aérea/convertida) P_{a}.
  4. Conjugado mecânico (torque) \mathfrak{J}_{mec}.

Passo 2

Entender a equação elétrica básica da máquina como gerador e a convenção de sinais (explicação didática).
  • Para uma máquina de CC separadamente excitada que gira com velocidade e campo praticamente constantes, a fem gerada no rotor (armadura) é E.
  • Quando a máquina é geradora e fornece corrente ao terminal, a tensão terminal V_{t} é a fem reduzida pela queda ôhmica na armadura causada pela corrente I_a. A relação simples (linha reta, desprezando quedas reativas e escovas) é:
V_{t} = E - I_{a}\,R_{a}.
  • Nessa fórmula:
    • V_{t} é a tensão nos terminais da máquina (voltagem disponível para a carga),
    • E é a fem induzida na armadura (proporcional a fluxo de campo e velocidade),
    • I_{a} é a corrente de armadura (positiva quando o gerador fornece corrente),
    • R_{a} é a resistência do enrolamento de armadura.
  • Isolando I_a obtemos a expressão que usamos para calcular a corrente de armadura a partir de E, V_t e R_a.

Passo 3

Calcular a corrente de armadura I_{a} usando a equação isolada (aplico a álgebra da equação anterior).
I_{a}=\frac{E-V_{t}}{R_{a}}
Substituindo os valores (todos dados no enunciado):
I_{a}=\frac{125-124}{0{,}02}=\frac{1}{0{,}02}=50\\ \mathrm{A}.
Breve explicação: como a fem em vazio é 125\\ \mathrm{V} e a tensão terminal caiu para 124\\ \mathrm{V}, essa diferença de 1\\ \mathrm{V} aparece como queda ôhmica I_a R_a; com R_a muito pequeno, a corrente fica grande: 50\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Calcular a potência de terminal P_{t} (explicação do conceito).
  • Definição: a potência de terminal é a potência elétrica entregue pela máquina aos terminais (à carga) e, sob a convenção de gerador, é dada por
P_{t}=V_{t}\,I_{a}.
Substituindo:
P_{t}=124\cdot50=6200\\ \mathrm{W}=6{,}2\\ \mathrm{kW}.
Comentário prático: essa é a potência útil fornecida à carga externa; note que é menor que a potência eletromagnética desenvolvida dentro da máquina por causa das perdas ôhmicas na armadura.

Passo 5

Calcular a potência eletromagnética P_{a} (explicação do que é).
  • Definição: a potência eletromagnética desenvolvida na armadura (energia convertida entre elétrico e mecânico no eixo) é dada por
P_{a}=E\,I_{a}.
(Substituição direta, porque E é a fem interna que, multiplicada por I_a, dá a potência elétrica interna que é convertida em potência mecânica — menos as perdas ôhmicas que aparecem separadamente.)
P_{a}=125\cdot50=6250\\ \mathrm{W}=6{,}25\\ \mathrm{kW}.
Verificação rápida de consistência: a perda ôhmica na armadura é I_{a}^{2}R_{a}=50^{2}\cdot0{,}02=2500\cdot0{,}02=50\\ \mathrm{W}. Logo
P_{t}=P_{a}-I_{a}^{2}R_{a}=6250-50=6200\\ \mathrm{W},
coerente com o valor calculado para P_t.

Passo 6

Calcular a velocidade angular e o conjugado mecânico \mathfrak{J}_{mec} (explicação das fórmulas).
  • Para ligar potência mecânica e torque usamos a relação:
P_{a}=\mathfrak{J}_{mec}\,\omega,
onde \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s} e \mathfrak{J}_{mec} é o torque em \mathrm{N\cdot m}.
  • Calcular \omega a partir de n=3000\\ \text{rpm}:
\omega = 2\pi\frac{n}{60}=2\pi\frac{3000}{60}=2\pi\cdot50=100\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Isolando o torque:
\mathfrak{J}_{mec}=\frac{P_{a}}{\omega}=\frac{6250}{100\pi}=\frac{62{,}5}{\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Valor numérico aproximado:
\mathfrak{J}_{mec}\approx19{,}89\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comentário: este é o torque eletromecânico desenvolvido associado à potência convertida P_a. Se houvesse perdas mecânicas (atrito, ventilação), o torque de eixo entregue ao sistema externo seria levemente menor se considerássemos essas perdas; aqui usamos a potência eletromagnética para obter o torque desenvolvido.

Passo 7

Resumo e checagens finais rápidas (motivação didática).
  • Corrente I_a foi obtida pela queda E-V_t dividida por R_a.
  • Potência eletromagnética P_a é E I_a; potência entregue aos terminais P_t é V_t I_a.
  • A diferença P_a-P_t é a perda ôhmica I_a^2 R_a, conferida numericamente.
  • Torque vem diretamente de P_a/\omega usando a velocidade angular correspondente a 3000\\ \text{rpm}.

Resposta

I_{a}=50\\ \mathrm{A}
P_{t}=6200\\ \mathrm{W}=6{,}2\\ \mathrm{kW}
P_{a}=6250\\ \mathrm{W}=6{,}25\\ \mathrm{kW}
\mathfrak{J}_{mec}=19{,}89\\ \mathrm{N\cdot m}

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