Uma máquina de Carnot, funciona teoricamente entre temperaturas de 200 e 450 K . A máquina tem uma potência de 500 W (trabalho realizado em cada segundo). Um técnico mede continuamente a temperatura do sistema usando um termômetro que tem precisão de
, e em 11 ciclos, obteve resultados a seguir.
Qual é o erro em cálculo de rendimento dessa máquina a base das medidas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma máquina de Carnot que trabalha entre duas temperaturas: 200 K e 450 K. Essa máquina faz um trabalho de 500 W por segundo. Um técnico mediu as temperaturas várias vezes usando um termômetro que tem uma precisão de 1,0 K e anotou 11 ciclos de medidas. A pergunta é: qual é o erro no cálculo do rendimento dessa máquina com base nessas medidas?
Vamos precisar entender um pouco sobre eficiência de máquinas térmicas, especificamente da máquina de Carnot, e como os erros nas medições de temperatura podem afetar esse cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a eficiência (
) de uma máquina de Carnot é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a temperatura fria (200 K) -
é a temperatura quente (450 K)
Essa eficiência é a eficiência teórica máxima que a máquina pode ter operando entre essas duas temperaturas.
Passo 3
Agora, o técnico mediu as temperaturas várias vezes, e cada medição tem uma precisão de 1,0 K. Isso significa que cada medida pode ter um erro de até ±1 K. Vamos ver como isso afeta o cálculo da eficiência.
Vamos chamar as temperaturas medidas de
e
, que são as medidas reais com algum erro em relação aos valores ideais
e
.
Passo 4
O erro na eficiência (
) pode ser calculado usando o método de propagação de erro. Para a eficiência, temos:
Para encontrar o erro
, usamos:
Onde:
-
é a derivada parcial de em relação a -
é a derivada parcial de em relação a -
e são os erros nas medidas de e , respectivamente (neste caso, 1,0 K)
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, substituímos
,
e
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da propagação de erro:
Calculando cada termo:
Somando:
E tirando a raiz quadrada:
Passo 7
Para expressar o erro em porcentagem, multiplicamos por 100:
Resposta
O erro no cálculo do rendimento dessa máquina, baseado nas medidas, é de aproximadamente 0,24 %.