Uma máquina de Carnot, funciona teoricamente entre temperaturas de 200 e 450 K . A máquina tem uma potência de 500 W (trabalho realizado em cada segundo). Um técnico mede continuamente a temperatura do sistema usando um termômetro que tem precisão de 1,0 K, e em 11 ciclos, obteve resultados a seguir.
Qual é o erro em cálculo de rendimento dessa máquina a base das medidas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma máquina de Carnot que trabalha entre duas temperaturas: 200 K e 450 K. Essa máquina faz um trabalho de 500 W por segundo. Um técnico mediu as temperaturas várias vezes usando um termômetro que tem uma precisão de 1,0 K e anotou 11 ciclos de medidas. A pergunta é: qual é o erro no cálculo do rendimento dessa máquina com base nessas medidas?
Vamos precisar entender um pouco sobre eficiência de máquinas térmicas, especificamente da máquina de Carnot, e como os erros nas medições de temperatura podem afetar esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a eficiência ( eta) de uma máquina de Carnot é dada pela fórmula:
eta = 1 - TCTH
Onde:
  • TC é a temperatura fria (200 K)
  • TH é a temperatura quente (450 K)
Essa eficiência é a eficiência teórica máxima que a máquina pode ter operando entre essas duas temperaturas.

Passo 3

Agora, o técnico mediu as temperaturas várias vezes, e cada medição tem uma precisão de 1,0 K. Isso significa que cada medida pode ter um erro de até ±1 K. Vamos ver como isso afeta o cálculo da eficiência.
Vamos chamar as temperaturas medidas de TC' e TH', que são as medidas reais com algum erro em relação aos valores ideais TC e TH.

Passo 4

O erro na eficiência ( De) pode ser calculado usando o método de propagação de erro. Para a eficiência, temos:
eta = 1 - TC'TH'
Para encontrar o erro De, usamos:
De
Onde:
  • partial etapartial TC' é a derivada parcial de eta em relação a TC'
  • partial etapartial TH' é a derivada parcial de eta em relação a TH'
  • De e De são os erros nas medidas de TC' e TH', respectivamente (neste caso, 1,0 K)

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial etapartial TC' = -1TH'
partial etapartial TH' = TC'(TH')^2
Agora, substituímos TC' = 200,K, TH' = 450,K e De:
partial etapartial TC' = -1450 approx -0,00222
partial etapartial TH' = 200(450)^2 = 200202500 approx 0,000988

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da propagação de erro:
De
Calculando cada termo:
(-0,00222)^2 = 0,00000493
(0,000988)^2 = 0,000000976
Somando:
0,00000493 + 0,000000976 approx 0,000005906
E tirando a raiz quadrada:
De

Passo 7

Para expressar o erro em porcentagem, multiplicamos por 100:
De

Resposta

O erro no cálculo do rendimento dessa máquina, baseado nas medidas, é de aproximadamente 0,24 %.

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