Uma máquina de Carnot, funciona teoricamente entre temperaturas de 200 e 450 K . A máquina tem uma potência de 500 W (trabalho realizado em cada segundo). Um técnico mede continuamente a temperatura do sistema usando um termômetro que tem precisão de
, e em 11 ciclos, obteve resultados a seguir.
Qual é o erro relativo em cálculo de rendimento?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma máquina de Carnot que, teoricamente, opera entre 200 K (temperatura fria) e 450 K (temperatura quente). A potência dela é de 500 W, ou seja, ela realiza 500 joules de trabalho a cada segundo. Um técnico mediu continuamente as temperaturas durante 11 ciclos usando um termômetro com precisão de 1,0 K. As medições variaram um pouquinho nas 11 tentativas. O que queremos saber é qual é o erro relativo no cálculo do rendimento dessa máquina. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula do rendimento de uma máquina de Carnot e como os erros nas medições das temperaturas influenciam esse rendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do rendimento (η) para uma máquina de Carnot:
Onde:
- $ T_C $ é a temperatura do reservatório frio.
- $ T_H $ é a temperatura do reservatório quente.
Nosso objetivo é calcular o erro relativo no rendimento devido às imprecisões nas medições das temperaturas $ T_C $ e $ T_H $.
Passo 3
Vamos começar calculando as médias das temperaturas medidas nos 11 ciclos para $ T_F $ (frio) e $ T_Q $ (quente).
Para $ T_F $:
Calculando isso:
Para $ T_Q $:
Calculando isso:
Passo 4
Agora, vamos considerar a incerteza nas medições. O termômetro tem uma precisão de 1,0 K, o que significa que cada medição pode variar
.
Para propagar esse erro para o rendimento $ \eta $, precisamos calcular a derivada parcial de $ \eta $ em relação a $ T_C $ e $ T_H $:
Passo 5
A incerteza no rendimento ($ \Delta \eta $) pode ser calculada usando a regra de propagação de erros:
Substituindo:
Como $ \Delta T_C = \Delta T_H = 1,0 , K $:
Calculando isso:
Passo 6
Agora, vamos calcular o rendimento médio com as temperaturas medidas:
Passo 7
O erro relativo é dado pela razão entre a incerteza no rendimento e o rendimento em si:
Resposta
O erro relativo no cálculo do rendimento é de aproximadamente 0,58%.