Uma máquina de Carnot, funciona teoricamente entre temperaturas de 200 e 450 K . A máquina tem uma potência de 500 W (trabalho realizado em cada segundo). Um técnico mede continuamente a temperatura do sistema usando um termômetro que tem precisão de 1,0 K, e em 11 ciclos, obteve resultados a seguir.
Qual é o erro relativo em cálculo de rendimento?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma máquina de Carnot que, teoricamente, opera entre 200 K (temperatura fria) e 450 K (temperatura quente). A potência dela é de 500 W, ou seja, ela realiza 500 joules de trabalho a cada segundo. Um técnico mediu continuamente as temperaturas durante 11 ciclos usando um termômetro com precisão de 1,0 K. As medições variaram um pouquinho nas 11 tentativas. O que queremos saber é qual é o erro relativo no cálculo do rendimento dessa máquina. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula do rendimento de uma máquina de Carnot e como os erros nas medições das temperaturas influenciam esse rendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do rendimento (η) para uma máquina de Carnot:
eta = 1 - TCTH
Onde:
  • $ T_C $ é a temperatura do reservatório frio.
  • $ T_H $ é a temperatura do reservatório quente.
Nosso objetivo é calcular o erro relativo no rendimento devido às imprecisões nas medições das temperaturas $ T_C $ e $ T_H $.

Passo 3

Vamos começar calculando as médias das temperaturas medidas nos 11 ciclos para $ T_F $ (frio) e $ T_Q $ (quente).
Para $ T_F $:
TF é
Calculando isso:
TQ é
Para $ T_Q $:
TF é
Calculando isso:
TFmédio = 199 + 193 + 195 + 200 + 198 + 198 + 198 + 199 + 199 + 205 + 19711 é

Passo 4

Agora, vamos considerar a incerteza nas medições. O termômetro tem uma precisão de 1,0 K, o que significa que cada medição pode variar pm 1,0 , K.
Para propagar esse erro para o rendimento $ \eta $, precisamos calcular a derivada parcial de $ \eta $ em relação a $ T_C $ e $ T_H $:
eta
eta

Passo 5

A incerteza no rendimento ($ \Delta \eta $) pode ser calculada usando a regra de propagação de erros:
De
Substituindo:
De
Como $ \Delta T_C = \Delta T_H = 1,0 , K $:
De
Calculando isso:
De

Passo 6

Agora, vamos calcular o rendimento médio com as temperaturas medidas:
eta = 1 - 199,82450,55 approx 1 - 0,443 approx 0,557 ou 55,7%

Passo 7

O erro relativo é dado pela razão entre a incerteza no rendimento e o rendimento em si:
Erro relativo = De

Resposta

O erro relativo no cálculo do rendimento é de aproximadamente 0,58%.

Exercícios relacionados