Prob. 12 (Halliday): A função
, \operatorname{com} x) em metros e
em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento
? Adicional: (b) Determine o módulo e sentido da velocidade de propagação da onda. © Calcule o módulo e sentido da velocidade transversal do pedaço de corda na posição de
e no instante
. (d) Para o mesmo instante de
; determine a posição em
dos dois pontos mais próximos da origem de coordenadas onde o módulo da velocidade transversal da corda é máxima.
: (b)
. ©
. (d)
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a corda tem o perfil
com
em metros e
em segundos. A matéria aqui é ondas numa corda (ondas harmónicas unidimensionais). Para resolver, a gente vai precisar de:
- identificar amplitude
, número de onda e frequência angular , - saber que a velocidade transversal de um ponto é
, - usar identidade trigonométrica para passar de
para quando for preciso.
Passo 2
Vamos achar primeiro a expressão geral de
.
Se
Se
com
e
, então
Ou seja
Passo 3
(a) No instante em que
, temos
Logo
. Substituindo em
:
Ou seja, a velocidade transversal tem módulo
m/s (sinal depende de subir ou descer).
Passo 4
(b) A velocidade de propagação da onda é
Como o argumento é
, a onda se move no sentido +
.
Passo 5
© Agora em
m e
s:
Então
(sinal positivo → corda subindo).
Passo 6
(d) Para
s queremos
. Isso rola quando
Os dois mais próximos da origem são para
e
:
Resposta
(a)
m/s (módulo)
(b) m/s (sentido +
)
© m/s
(d) m e
m
(b)
©
(d)