Prob. 12 (Halliday): A função y(x, t)=15 cm cos (pi x-15 pi t), \operatorname{com} x) em metros e t em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento y=12 cm ? Adicional: (b) Determine o módulo e sentido da velocidade de propagação da onda. © Calcule o módulo e sentido da velocidade transversal do pedaço de corda na posição de x=1,4 m e no instante t=0,08 s. (d) Para o mesmo instante de t=0,08 s; determine a posição em X dos dois pontos mais próximos da origem de coordenadas onde o módulo da velocidade transversal da corda é máxima. R : (b) v=+15 m / s. © vT=+4,155 m / s. (d) x=-0,3 m e x=0,7 m.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a corda tem o perfil
y(x,t)=15 cm,cosl(pi x - 15pi tr),
com em metros e em segundos. A matéria aqui é ondas numa corda (ondas harmónicas unidimensionais). Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. identificar amplitude , número de onda e frequência angular ,
  2. saber que a velocidade transversal de um ponto é ,
  3. usar identidade trigonométrica para passar de para quando for preciso.

Passo 2

Vamos achar primeiro a expressão geral de y(x,t)=AcosPhi(x,t), .
Se
vT=partial ypartial t =;-;A,sinPhi;partialPhipartial t =;-A,sinPhi;(-15pi) =+15pi A;sinPhi
com boxedvT(x,t)=15pi,(0,15),sinl(pi x-15pi tr) =2,25pi,sinl(pi x-15pi tr)[m/s] e , então
Ou seja

Passo 3

(a) No instante em que cosPhi=yA=1215=0,8 , temos
vT=2,25pi;l(pm0,6r)=pm1,35pi approxpm4,24 m/s
Logo . Substituindo em :
Ou seja, a velocidade transversal tem módulo m/s (sinal depende de subir ou descer).

Passo 4

(b) A velocidade de propagação da onda é
v=omegak =15pipi =15 m/s
Como o argumento é , a onda se move no sentido + .

Passo 5

© Agora em Phi=pi(1,4)-15pi(0,08) =1,4pi-1,2pi=0,2pi m e vT=2,25pisin(0,2pi) =2,25pisin36^circ approx2,25pi,(0,5878) approx4,155 m/s s:
Então
(sinal positivo → corda subindo).

Passo 6

(d) Para pi x-1,2pi=pi2+npi ;Longrightarrow; x=12+(n+1.2)=1.7+n, nin Z s queremos xn=-1=0,7 m, xn=-2=-0,3 m . Isso rola quando
Os dois mais próximos da origem são para e :

Resposta

(a) m/s (módulo)
(b) m/s (sentido + )
© m/s
(d) m e m

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