Uma máquina de Carnot opera entre
e
, usando
de um gás ideal monoatômico. As condições iniciais são 1.0 bar e
. Durante a etapa de expansão isotérmica o volume muda para
. Calcular q e w para cada etapa do processo e do processo inteiro. Qual é a eficiência da máquina de Carnot.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (tomei os dados exatamente como foram fornecidos).
- Dados do enunciado:
- Temperaturas dos reservatórios:
- Quantidade de gás:
gás ideal monoatômico. - Condições iniciais (início da expansão isotérmica a
): (vou usar estas unidades no cálculo.) - Durante a etapa isotérmica (à temperatura
) o volume aumenta para
- Temperaturas dos reservatórios:
- O que o enunciado pede:
- Calcular
e para cada etapa da máquina de Carnot (as quatro etapas: isotérmica quente, adiabática expansão, isotérmica fria, adiabática compressão). - Calcular
e para o ciclo inteiro (total). - Calcular a eficiência da máquina de Carnot.
- Calcular
Passo 2
Vou definir convenções e as fórmulas que vou usar (isto é importante para interpretar sinais e aplicar a física corretamente).
- Convenção de sinais (a que vou usar): calor
positivo quando entra no sistema; trabalho positivo quando o sistema realiza trabalho sobre o ambiente (trabalho realizado pelo gás). - Primeira lei da termodinâmica (com essa convenção):
onde é a variação da energia interna do gás. - Para gás ideal monoatômico:
com . - Propriedades úteis:
- Isotérmico reversível (temperatura constante
): e para gás ideal então . - Adiabático reversível (sem calor,
): constante; e pelo balanço de energia Como , então para adiabático (isto dá trabalho positivo se diminui, i.e. expansão adiabática.)
- Isotérmico reversível (temperatura constante
- Propriedade do ciclo de Carnot (reversível entre
e ): onde é o calor absorvido na isotérmica quente e a magnitude do calor rejeitado na isotérmica fria. Esta relação vem do fato de que isotermais têm nas conexões reversíveis do ciclo; usarei essa relação para obter sem precisar de volumes desconhecidos intermediários.
Passo 3
Explicação: numa isotérmica reversível, a pressão segue
e o trabalho realizado pelo gás é
Como
para processo isotérmico de gás ideal, temos
.
Calculemos passo a passo:
- Primeiro calcule
: - Razão de volumes:
e - Trabalho e calor (mesmo valor):
Interpretação: o gás absorve cerca de
de calor do reservatório quente e realiza o mesmo trabalho.
Passo 4
Explicação: por definição adiabático reversível não troca calor com o ambiente, então
. A energia interna do gás muda porque a temperatura cai de
para
; a variação de energia interna é
. Pelo balanço
, logo
Calculemos:
-
- Diferença de temperaturas:
- Trabalho:
- Calor:
Interpretação: durante a expansão adiabática o gás realiza mais trabalho (≈
) e perde essa energia vindo da sua energia interna.
Passo 5
Explicação: esta isotérmica rejeita calor para o reservatório frio. Para não precisar conhecer os volumes intermediários (que não foram dados), uso a propriedade do ciclo de Carnot:
Aqui
(calor recebido na isotérmica quente) e
será a magnitude do calor rejeitado (positiva como magnitude). Pelo sinal, o calor que entra no sistema nesta etapa é negativo:
. Como a isotérmica tem
, vale
.
Calculemos:
- Razão de temperaturas:
- Magnitude do calor rejeitado:
- Portanto, com nossa convenção:
Interpretação: o gás tem trabalho negativo nesta etapa (trabalho é feito sobre o gás) e rejeita cerca de
ao reservatório frio.
Passo 6
Explicação: novamente adiabático, então
. É a etapa que leva a temperatura de volta a
por compressão; o trabalho realizado sobre o gás é igual em magnitude e oposto ao da expansão adiabática anterior, pois as variações de temperatura são simétricas (de
a
e de volta). Usando a fórmula:
Calculemos:
Interpretação: durante esta compressão adiabática o trabalho é realizado sobre o gás (trabalho pelo sistema é negativo) e a energia interna aumenta.
Passo 7
Somando os
s:
Somando os
s:
Verificação: de fato
porque o sistema volta ao estado inicial em um ciclo (
), logo pela primeira lei
.
Passo 8
- Definição de eficiência (com calor absorbido positivo
): - Para máquina de Carnot reversível vale explicitamente
- Calculemos numericamente:
Também verificamos com os números:
.
Resposta
Isotérmica (à
):
Adiabática (expansão ):
Isotérmica (à ):
Adiabática (compressão ):
Processo inteiro (ciclo):
Eficiência:
Adiabática (expansão
Isotérmica (à
Adiabática (compressão
Processo inteiro (ciclo):
Eficiência: