Uma máquina de Carnot opera entre 25^{\circ} \mathrm{C}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{h}}\right) e 0^{\circ} \mathrm{C}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right), usando 1,00 \mathrm{~mol} de um gás ideal monoatômico. As condições iniciais são 1.0 bar e 24,8 \mathrm{dm}^{3}. Durante a etapa de expansão isotérmica o volume muda para 50 \mathrm{dm}^{3}. Calcular q e w para cada etapa do processo e do processo inteiro. Qual é a eficiência da máquina de Carnot.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (tomei os dados exatamente como foram fornecidos).
  • Dados do enunciado:
    • Temperaturas dos reservatórios: T_h = 25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_c = 0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Quantidade de gás: n=1{,}00\\ \text{mol},gás ideal monoatômico.
    • Condições iniciais (início da expansão isotérmica a T_h): P_1=1{,}0\\ \text{bar}=1{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\qquad V_1=24{,}8\\ \mathrm{dm}^3 = 24{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.(vou usar estas unidades no cálculo.)
    • Durante a etapa isotérmica (à temperatura T_h) o volume aumenta para V_2=50{,}0\\ \mathrm{dm}^3 = 50{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular q e w para cada etapa da máquina de Carnot (as quatro etapas: isotérmica quente, adiabática expansão, isotérmica fria, adiabática compressão).
    • Calcular q e w para o ciclo inteiro (total).
    • Calcular a eficiência da máquina de Carnot.

Passo 2

Vou definir convenções e as fórmulas que vou usar (isto é importante para interpretar sinais e aplicar a física corretamente).
  • Convenção de sinais (a que vou usar): calor q positivo quando entra no sistema; trabalho w positivo quando o sistema realiza trabalho sobre o ambiente (trabalho realizado pelo gás).
  • Primeira lei da termodinâmica (com essa convenção): \Delta U = q - w,onde \Delta U é a variação da energia interna do gás.
  • Para gás ideal monoatômico: C_V=\tfrac{3}{2}R,\qquad C_P=\tfrac{5}{2}R,\qquad \gamma=\frac{C_P}{C_V}=\frac{5}{3},com R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Propriedades úteis:
    • Isotérmico reversível (temperatura constante T): w_\text{isot}=\int_{V_i}^{V_f}P\,dV=\\ nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),e para gás ideal \Delta U=0 então q=w_\text{isot}.
    • Adiabático reversível (sem calor, q=0): \;PV^\gamma= constante; e pelo balanço de energia q=0\quad\Rightarrow\quad \Delta U = -w \quad\Rightarrow\quad w = -\Delta U.Como \Delta U = n C_V (T_f-T_i), então para adiabático w_\text{ad} = n C_V (T_i-T_f).(isto dá trabalho positivo se T diminui, i.e. expansão adiabática.)
  • Propriedade do ciclo de Carnot (reversível entre T_h e T_c): \frac{Q_c}{Q_h}=\frac{T_c}{T_h},onde Q_h é o calor absorvido na isotérmica quente e Q_c a magnitude do calor rejeitado na isotérmica fria. Esta relação vem do fato de que isotermais têm Q\propto T nas conexões reversíveis do ciclo; usarei essa relação para obter Q_c sem precisar de volumes desconhecidos intermediários.

Passo 3

Explicação: numa isotérmica reversível, a pressão segue P=nRT/V e o trabalho realizado pelo gás é
w_1 = n R T_h \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Como \Delta U=0 para processo isotérmico de gás ideal, temos q_1=w_1.
Calculemos passo a passo:
  • Primeiro calcule nRT_h: n R T_h = 1{,}00\times 8{,}314\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\,K}}\times 298{,}15\\ \mathrm{K} = 2\,478{,}8\\ \mathrm{J}.
  • Razão de volumes: \frac{V_2}{V_1}=\frac{50{,}0}{24{,}8}=2{,}016129\ldotse \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\approx 0{,}70118.
  • Trabalho e calor (mesmo valor): w_1 = q_1 = 2\,478{,}8\times 0{,}70118 \approx 1\,738{,}0\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o gás absorve cerca de 1{,}74\times10^{3}\\ \mathrm{J} de calor do reservatório quente e realiza o mesmo trabalho.

Passo 4

Explicação: por definição adiabático reversível não troca calor com o ambiente, então q_2=0. A energia interna do gás muda porque a temperatura cai de T_h para T_c; a variação de energia interna é \Delta U = n C_V (T_c-T_h). Pelo balanço q=0\Rightarrow \Delta U = -w, logo
w_2 = n C_V (T_h-T_c).
Calculemos:
  • C_V=\tfrac{3}{2}R = \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 = 12{,}471\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Diferença de temperaturas: T_h-T_c = 298{,}15 - 273{,}15 = 25{,}00\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho: w_2 = 1{,}00\times 12{,}471\times 25{,}00 = 311{,}78\\ \mathrm{J}.
  • Calor: q_2 = 0.
Interpretação: durante a expansão adiabática o gás realiza mais trabalho (≈ 3{,}12\times10^{2}\\ \mathrm{J}) e perde essa energia vindo da sua energia interna.

Passo 5

Explicação: esta isotérmica rejeita calor para o reservatório frio. Para não precisar conhecer os volumes intermediários (que não foram dados), uso a propriedade do ciclo de Carnot:
\frac{Q_c}{Q_h}=\frac{T_c}{T_h}.
Aqui Q_h=q_1 (calor recebido na isotérmica quente) e Q_c será a magnitude do calor rejeitado (positiva como magnitude). Pelo sinal, o calor que entra no sistema nesta etapa é negativo: q_3=-Q_c. Como a isotérmica tem \Delta U=0, vale w_3=q_3.
Calculemos:
  • Razão de temperaturas: \frac{T_c}{T_h}=\frac{273{,}15}{298{,}15}\approx 0{,}91606.
  • Magnitude do calor rejeitado: Q_c = Q_h\frac{T_c}{T_h} = 1\,738{,}0\times 0{,}91606 \approx 1\,592{,}1\\ \mathrm{J}.
  • Portanto, com nossa convenção: q_3 = -1\,592{,}1\\ \mathrm{J},\qquad w_3 = -1\,592{,}1\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o gás tem trabalho negativo nesta etapa (trabalho é feito sobre o gás) e rejeita cerca de 1{,}59\times10^{3}\\ \mathrm{J} ao reservatório frio.

Passo 6

Explicação: novamente adiabático, então q_4=0. É a etapa que leva a temperatura de volta a T_h por compressão; o trabalho realizado sobre o gás é igual em magnitude e oposto ao da expansão adiabática anterior, pois as variações de temperatura são simétricas (de T_h a T_c e de volta). Usando a fórmula:
w_4 = n C_V (T_c-T_h) = -\,n C_V (T_h-T_c).
Calculemos:
w_4 = -311{,}78\\ \mathrm{J},\qquad q_4=0.
Interpretação: durante esta compressão adiabática o trabalho é realizado sobre o gás (trabalho pelo sistema é negativo) e a energia interna aumenta.

Passo 7

Somando os qs:
q_\text{total}=q_1+q_2+q_3+q_4 = 1\,738{,}0 + 0 -1\,592{,}1 + 0 = 145{,}9\\ \mathrm{J}.
Somando os ws:
w_\text{total}=w_1+w_2+w_3+w_4 = 1\,738{,}0 + 311{,}8 -1\,592{,}1 -311{,}8 = 145{,}9\\ \mathrm{J}.
Verificação: de fato q_\text{total}=w_\text{total} porque o sistema volta ao estado inicial em um ciclo ( \Delta U_\text{ciclo}=0), logo pela primeira lei 0=q_\text{total}-w_\text{total}.

Passo 8

  • Definição de eficiência (com calor absorbido positivo Q_h): \eta = \frac{w_\text{total}}{Q_h} = 1 - \frac{Q_c}{Q_h}.
  • Para máquina de Carnot reversível vale explicitamente \eta = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
  • Calculemos numericamente: \eta = 1 - \frac{273{,}15}{298{,}15} = \frac{25{,}00}{298{,}15}\approx 0{,}08394\approx 8{,}39\%.
Também verificamos com os números: \eta = 145{,}9/1\,738{,}0 \approx 0{,}08394.

Resposta

Isotérmica (à T_h): q_1 = +1{,}738\times10^{3}\\ \mathrm{J},\; w_1 = +1{,}738\times10^{3}\\ \mathrm{J}
Adiabática (expansão T_h\to T_c): q_2 = 0,\; w_2 = +3{,}1178\times10^{2}\\ \mathrm{J}
Isotérmica (à T_c): q_3 = -1{,}592\times10^{3}\\ \mathrm{J},\; w_3 = -1{,}592\times10^{3}\\ \mathrm{J}
Adiabática (compressão T_c\to T_h): q_4 = 0,\; w_4 = -3{,}1178\times10^{2}\\ \mathrm{J}
Processo inteiro (ciclo): q_\text{total} = +1{,}459\times10^{2}\\ \mathrm{J},\; w_\text{total} = +1{,}459\times10^{2}\\ \mathrm{J}
Eficiência: \eta = 1 - \dfrac{T_c}{T_h} = 0{,}08394 \approx 8{,}39\%

Exercícios relacionados