Uma máquina de Carnot opera 3,7 \mathrm{~mol} de um gás ideal e durante a expansão isotérmica o volume do gás é multiplicado por 6 . Sendo 427 K e 295 K, respectivamente, as temperaturas da fonte de calor e do exaustor, qual é o trabalho realizado por ciclo de operação desta máquina?
Considere \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \mathrm{K}). Resposta como número inteiro.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho por ciclo realizado por uma máquina de Carnot. Dados fornecidos:
  • quantidade de gás: n=3,7 mol;
  • durante a expansão isotérmica o volume é multiplicado por 6 (ou seja, \dfrac{V_f}{V_i}=6);
  • temperaturas da fonte e do exaustor: T_h=427\\ \text{K} e T_c=295\\ \text{K}, respectivamente;
  • constante dos gases: R=8,314\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}.
    A pergunta é: qual é o trabalho W realizado por ciclo? (Resposta inteira.)

Passo 2

Entendendo a etapa isotérmica (aulas curtas, sem medo): quando um gás ideal se expande isotermicamente a temperatura fixa T, a variação de energia interna é zero e todo o calor fornecido vira trabalho. Usando a equação dos gases ideais P=\dfrac{nRT}{V} e integrando W=\int P\,dV obtemos a expressão do calor (ou trabalho, para isoterma) trocado nessa etapa:
Q_h = nR T_h \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
Aqui:
  • Q_h é o calor absorvido da fonte na isoterma quente;
  • n é o número de mols;
  • R é a constante dos gases;
  • T_h é a temperatura da isoterma quente;
  • \ln é o logaritmo natural;
  • \dfrac{V_f}{V_i} é a razão entre volumes final e inicial (dada como 6).

Passo 3

Agora, para a máquina de Carnot: a eficiência térmica (fração do calor absorvido convertida em trabalho) é
\eta = 1 - \dfrac{T_c}{T_h},
onde T_c é a temperatura do exaustor. O trabalho por ciclo é o calor absorvido multiplicado pela eficiência:
W = \eta \, Q_h.
Substituindo Q_h e \eta obtemos, ao simplificar,
W = \left(1-\dfrac{T_c}{T_h}\right)\left(nR T_h \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)\right) = nR(T_h-T_c)\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
Essa forma é bem conveniente: depende diretamente da diferença de temperaturas e da razão volumétrica.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos passo a passo.
  1. Calcule a diferença de temperaturas:
T_h-T_c = 427 - 295 = 132\\ \text{K}.
  1. Calcule nR:
nR = 3,7 \times 8,314 = 30,7618\\ \mathrm{J/(K)}.
  1. Multiplique nR por (T_h-T_c):
nR(T_h-T_c) = 30,7618 \times 132 = 4060,5576\\ \mathrm{J}.
  1. Calcule o logaritmo natural da razão volumétrica (peguei a razão 6 do enunciado):
\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right) = \ln(6) \approx 1,791759469.
  1. Finalmente, o trabalho por ciclo:
W = 4060,5576 \times 1,791759469 \approx 7275,543\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Arredondando para número inteiro (conforme pedido), o trabalho por ciclo é 7276\\ \mathrm{J}.

Resposta

7276\\ \mathrm{J}

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