Uma máquina de Carnot recebe cerca de 60 kJ de energia da fonte de alta temperatura, enquanto rejeita 33,3 \mathrm{~kJ} de energia para uma fonte fria cuja temperatura é de 25^{\circ} \mathrm{C}. Determine a temperatura da fonte quente e o trabalho realizado pela máquina.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
  • Energia recebida da fonte quente: Q_h = 60\\ \mathrm{kJ}.
  • Energia rejeitada para a fonte fria: Q_c = 33{,}3\\ \mathrm{kJ}.
  • Temperatura da fonte fria: T_c = 25^\circ\mathrm{C}.
Perguntas:
  1. Determinar a temperatura da fonte quente T_h.
  2. Determinar o trabalho realizado pela máquina W.
Observação: a temperatura dada em graus Celsius precisa ser convertida para kelvin para usar as fórmulas termodinâmicas.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicando cada símbolo):
  • Uma máquina de Carnot é um ciclo reversível que opera entre duas fontes térmicas e tem a maior eficiência possível entre essas temperaturas.
  • Q_h: quantidade de calor absorvida da fonte quente (energia entrante).
  • Q_c: quantidade de calor rejeitada à fonte fria (energia saínte).
  • W: trabalho realizado pela máquina durante o ciclo.
  • T_h e T_c: temperaturas absolutas (em kelvin) das fontes quente e fria, respectivamente.
  • Conservação de energia no ciclo (primeira lei): o trabalho é a diferença entre o calor recebido e o calor rejeitado:
W = Q_h - Q_c.
  • Eficiência de uma máquina de Carnot (fórmula-chave):
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h},
onde \eta é a eficiência, também dada por
\eta = \frac{W}{Q_h}.
Vou usar essas relações para achar W e T_h. Nada misterioso — só juntar conservação de energia com a expressão da eficiência.

Passo 3

Converter a temperatura fria para kelvin:
T_c = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcular o trabalho usando conservação de energia:
W = Q_h - Q_c = 60\\ \mathrm{kJ} - 33{,}3\\ \mathrm{kJ} = 26{,}7\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação rápida: dos 60\\ \mathrm{kJ} recebidos, 33{,}3\\ \mathrm{kJ} são rejeitados e o restante 26{,}7\\ \mathrm{kJ} vira trabalho útil.

Passo 4

Relacionar eficiência com as quantidades de calor para eliminar W ou T_h. Usando \eta = W/Q_h e \eta = 1 - T_c/T_h, obtemos:
\frac{W}{Q_h} = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Como W = Q_h - Q_c, podemos escrever
\frac{Q_h - Q_c}{Q_h} = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Simplificando o lado esquerdo:
1 - \frac{Q_c}{Q_h} = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Cancelando os 1 dos dois lados:
\frac{Q_c}{Q_h} = \frac{T_c}{T_h}.
Essa igualdade é muito prática: para um motor de Carnot a razão dos calores é igual à razão das temperaturas absolutas (fria/s quente).

Passo 5

Isolar T_h e calcular numericamente:
T_h = T_c \cdot \frac{Q_h}{Q_c}.
Substituindo os valores (peguei T_c = 298{,}15\\ \mathrm{K} da conversão feita no Passo 3 e Q_h, Q_c do enunciado):
T_h = 298{,}15\\ \mathrm{K} \cdot \frac{60}{33{,}3}.
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{60}{33{,}3} \approx 1{,}801801\ldots
T_h \approx 298{,}15 \times 1{,}801801\ldots \approx 537{,}21\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius (se preferir em °C):
T_h = 537{,}21\\ \mathrm{K} - 273{,}15 \approx 264{,}06^\circ\mathrm{C} \approx 264{,}1^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular também a eficiência percentual só para checar coerência:
\eta = \frac{W}{Q_h} = \frac{26{,}7}{60} \approx 0{,}445 = 44{,}5\%.
Comentário amigo: faz sentido fisicamente — uma eficiência de cerca de 44{,}5\% entre 25^\circ\mathrm{C} e uma fonte bem mais quente requer essa temperatura na fonte quente que encontramos. Tudo bate com as relações do motor de Carnot.

Resposta

T_h \approx 537{,}2\\ \mathrm{K} \; (264{,}1^\circ\mathrm{C})
W = 26{,}7\\ \mathrm{kJ}

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