Uma máquina demora X segundos para realizar uma tarefa. X é uma variável aleatória continua cuja função densidade de probabilidade é descrita abaixo:
f(x)=\left\{\begin{array}{c} 0 \text { para } x<5 \\\ \frac{k(x-5)}{2} \text { para } 5 \leq x \leq 7 \\\ \frac{k(9-x)}{2} \text { para } 7 \leq x \leq 9 \\\\ 0 \text { para } x>9 \end{array}\right.
a) Calcule a constante k .
b) Determine a função distribuição acumulada de X.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua X que mede o tempo (em segundos) que uma máquina demora para uma tarefa, com densidade de probabilidade
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0, & x<5,\\[4pt] \dfrac{k(x-5)}{2}, & 5\le x\le7,\\[6pt] \dfrac{k(9-x)}{2}, & 7\le x\le9,\\[4pt] 0, & x>9. \end{array}\right.
As perguntas são:
(a) Calcular a constante k.
(b) Determinar a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O suporte de X é o intervalo [5,9] (fora disso a densidade é zero).
  • A densidade é uma função em dois ramos lineares (uma rampa crescente de 5 a 7 e uma rampa decrescente de 7 a 9) multiplicada por k/2.
  • Para qualquer densidade de probabilidade válida, deve valer \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1. Essa condição vai permitir achar k.
  • A função distribuição acumulada é definida por \displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt; vamos calcular isso caso a caso, dependendo da posição de x.]

Passo 2

Vamos achar k usando a condição de normalização da densidade:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [5,9], isso equivale a integrar apenas em [5,9]. Escrevemos a integral em dois pedaços (5 a 7 e 7 a 9):
\int_{5}^{7} \frac{k(x-5)}{2}\,dx \;+\; \int_{7}^{9} \frac{k(9-x)}{2}\,dx \;=\; 1.

Passo 3

Calcule a primeira integral:
\int_{5}^{7} \frac{k(x-5)}{2}\,dx = \frac{k}{2}\int_{5}^{7} (x-5)\,dx.
A primitiva de x-5 é \dfrac{(x-5)^2}{2}. Portanto,
\frac{k}{2}\int_{5}^{7} (x-5)\,dx = \frac{k}{2}\left[\frac{(x-5)^2}{2}\right]_{5}^{7} = \frac{k}{2}\cdot\frac{(7-5)^2}{2} = \frac{k}{2}\cdot\frac{4}{2} = \frac{k}{2}\cdot 2 = k.

Passo 4

Pelo formato simétrico da densidade, a segunda integral (de 7 a 9) tem o mesmo valor. Mas vamos justificar rapidamente:
\int_{7}^{9} \frac{k(9-x)}{2}\,dx = \frac{k}{2}\int_{7}^{9} (9-x)\,dx.
Fazendo a substituição u=9-x ou calculando diretamente, obtém-se também k. Logo a soma das duas integrais é k+k=2k. Assim a condição de normalização vira
2k = 1 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{1}{2}.

Passo 5

Resumo do resultado de (a):
k=\frac{1}{2}.
(Vou usar esse valor de k para calcular a função de distribuição.)

Passo 6

Definição e estratégia para F(x). A função distribuição acumulada é
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Como f é nula fora de [5,9], temos casos distintos:
  • Se x<5: F(x)=0.
  • Se 5\le x\le7: F(x)=\int_{5}^{x} \dfrac{k(t-5)}{2}\,dt.
  • Se 7\le x\le9: F(x)=P(X\le7)+\int_{7}^{x} \dfrac{k(9-t)}{2}\,dt.
  • Se x>9: F(x)=1.
Vou calcular cada item explicitamente usando k=\dfrac{1}{2}.

Passo 7

Caso 5\le x\le7. Calcule
F(x)=\int_{5}^{x} \frac{k(t-5)}{2}\,dt = \frac{k}{2}\int_{5}^{x} (t-5)\,dt = \frac{k}{2}\left[\frac{(t-5)^2}{2}\right]_{5}^{x} = \frac{k}{2}\cdot\frac{(x-5)^2}{2} = \frac{k(x-5)^2}{4}.
Substituindo k=\dfrac{1}{2}:
F(x)=\frac{\tfrac{1}{2}(x-5)^2}{4}=\frac{(x-5)^2}{8}.

Passo 8

Caso 7\le x\le9. Primeiro calcule F(7) usando a fórmula do passo anterior:
F(7)=\frac{(7-5)^2}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.
Agora calcule a contribuição de 7 até x. Uma maneira limpa é usar o complemento:
F(x)=1-\int_{x}^{9} f(t)\,dt =1-\int_{x}^{9}\frac{k(9-t)}{2}\,dt.
Calcule \int_{x}^{9} (9-t)\,dt. Fazendo a substituição u=9-t (ou reconhecendo que é uma integral de um triângulo),
\int_{x}^{9} (9-t)\,dt = \frac{(9-x)^2}{2}.
Portanto
\int_{x}^{9} \frac{k(9-t)}{2}\,dt = \frac{k}{2}\cdot\frac{(9-x)^2}{2} = \frac{k(9-x)^2}{4}.
Com k=\dfrac{1}{2} obtemos
\int_{x}^{9} \frac{k(9-t)}{2}\,dt = \frac{\tfrac{1}{2}(9-x)^2}{4}=\frac{(9-x)^2}{8}.
Logo
F(x)=1-\frac{(9-x)^2}{8}.
Observação: essa expressão dá F(7)=1-\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}, compatível com o caso anterior; e para x=9 F(9)=1.

Passo 9

Caso extremos:
  • Se x<5, então F(x)=0.
  • Se x>9, então F(x)=1.
Também vale conferir que F(x) é contínua em x=5,7,9 (as fórmulas batem nos pontos de junção) e é monótona crescente, como tem de ser.

Resposta

k=\dfrac{1}{2}
F(x)=\begin{cases} 0, & x<5,\\[4pt] \dfrac{(x-5)^2}{8}, & 5\le x\le7,\\[6pt] 1-\dfrac{(9-x)^2}{8}, & 7\le x\le9,\\[4pt] 1, & x>9. \end{cases}]

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