As perguntas são:
(a) Calcular a constante k.
(b) Determinar a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O suporte de X é o intervalo [5,9] (fora disso a densidade é zero).
A densidade é uma função em dois ramos lineares (uma rampa crescente de 5 a 7 e uma rampa decrescente de 7 a 9) multiplicada por k/2.
Para qualquer densidade de probabilidade válida, deve valer \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1. Essa condição vai permitir achar k.
A função distribuição acumulada é definida por \displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt; vamos calcular isso caso a caso, dependendo da posição de x.]
Passo 2
Vamos achar k usando a condição de normalização da densidade:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [5,9], isso equivale a integrar apenas em [5,9]. Escrevemos a integral em dois pedaços (5 a 7 e 7 a 9):
Fazendo a substituição u=9-x ou calculando diretamente, obtém-se também k. Logo a soma das duas integrais é k+k=2k. Assim a condição de normalização vira
2k = 1 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{1}{2}.
Passo 5
Resumo do resultado de (a):
k=\frac{1}{2}.
(Vou usar esse valor de k para calcular a função de distribuição.)
Passo 6
Definição e estratégia para F(x). A função distribuição acumulada é
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Como f é nula fora de [5,9], temos casos distintos:
Se x<5: F(x)=0.
Se 5\le x\le7: F(x)=\int_{5}^{x} \dfrac{k(t-5)}{2}\,dt.
Se 7\le x\le9: F(x)=P(X\le7)+\int_{7}^{x} \dfrac{k(9-t)}{2}\,dt.
Se x>9: F(x)=1.
Vou calcular cada item explicitamente usando k=\dfrac{1}{2}.