Uma máquina de empacotamento que abastece pacotes de feijão apresenta distribuição normal com média de 500 g e desvio padrão de 22 g . De acordo com as normas de defesa do consumidor, os pacotes de feijão não podem ter peso inferior a 2% do estabelecido na embalagem.
a-) Determine a probabilidade de um pacote selecionado aleatoriamente ter peso inferior a 490 g .
b-) Determine a probabilidade de 20 pacotes selecionados aleatoriamente, com reposição, terem peso médio inferior a 490 g .
c-) Considerando que, de acordo com as normas de defesa do consumidor, os pacotes de feijão não podem ter peso inferior a
do estabelecido na embalagem, como você interpreta os resultados dos itens anteriores? O que é mais indicado, selecionar um pacote ou uma amostra?
a-) Determine a probabilidade de um pacote selecionado aleatoriamente ter peso inferior a 490 g .
b-) Determine a probabilidade de 20 pacotes selecionados aleatoriamente, com reposição, terem peso médio inferior a 490 g .
c-) Considerando que, de acordo com as normas de defesa do consumidor, os pacotes de feijão não podem ter peso inferior a
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas. Informações relevantes:
- A máquina produz pesos com distribuição normal de média
g e desvio padrão g. - A norma exige que um pacote não tenha peso inferior a
do valor da embalagem. Como o rótulo é g, o limite mínimo permitido é de g, isto é g.
Perguntas:
a) Calcular a probabilidade de um pacote individual, selecionado aleatoriamente, ter peso inferior ag.
b) Calcular a probabilidade de que a média depacotes selecionados aleatoriamente (com reposição) seja inferior a g.
c) Interpretar os resultados e dizer o que é mais indicado: selecionar um pacote ou uma amostra (e por quê).
Passo 2
Teoria e método para o item (a): quando uma variável aleatória
é normal com média
e desvio padrão
, escrevemos
. Para calcular
usamos a padronização para a normal padrão
com a fórmula de transformação
Aqui
. Queremos
. Aplicando a transformação:
Para
obtemos o valor crítico
Portanto
Passo 3
Como usar a tabela da normal padrão: a tabela (ou função
) fornece valores de
para
. Pela simetria da normal temos
. Assim
Consultando valores próximos na tabela:
e
. Fazemos uma interpolação linear para
(que fica
do caminho entre
e
):
Logo
Passo 4
Interpretação parcial do item (a): a probabilidade de um pacote individual pesar menos de
g é aproximadamente
, ou seja cerca de
. Isso já nos dá uma ideia de que, mesmo com média
g, a variabilidade (
g) faz uma fração considerável de pacotes ficar abaixo do limite de
g.
Passo 5
Teoria e método para o item (b): seja
a média de uma amostra de
pacotes, com reposição (ou seja, independentes). Para a média amostral de variáveis normais temos exatamente
Aqui
,
e
. Portanto o desvio padrão da média amostral é
Calculando numericamente:
Queremos
. Padronizando:
Para
:
Assim
Passo 6
Cálculo numérico do item (b) usando tabela da normal padrão: valores próximos são
e
. Interpolando para
(aprox.
do caminho entre
e
):
Então
Ou seja, cerca de
.
Passo 7
Interpretação comparativa e resposta à parte (c):
- Do item (a) vimos que um pacote individual tem probabilidade de cerca de
de estar abaixo de g; isto é elevado: quase um em cada três pacotes seria não conforme. - Do item (b) vimos que a média de
pacotes tem probabilidade de apenas cerca de de ficar abaixo de g. Isso acontece porque o desvio padrão da média amostral é muito menor ( g), logo as médias são menos dispersas do que observações individuais.
Interpretação prática: a norma exige que pacotes individuais não fiquem abaixo deg. Portanto avaliar conformidade apenas pela média de uma amostra (isto é, calcular e comparar com ) pode mascarar um problema: mesmo com média amostral acima de (e com baixa probabilidade de ), existe uma fração grande de pacotes individuais fora do especificado. Assim, para proteger o consumidor, o mais indicado é inspecionar pacotes individuais (ou contar a proporção de pacotes na amostra que violam o limite) — não apenas confiar na média da amostra. Se o objetivo for detectar se a máquina está sistematicamente subenchendo toda a produção, então o estudo da média (com amostras grandes) é útil; mas para controle de conformidade por pacote, a verificação individual é obrigatória.
Resposta
(a)
(b)
(c) A norma se aplica a pacotes individuais; como cerca de dos pacotes individuais ficam abaixo de
g, a produção não está conforme. Usar apenas a média de uma amostra (onde a probabilidade de
é só
) pode esconder o problema. Portanto, para garantir a proteção do consumidor, é mais indicado verificar pacotes individuais ou a proporção de pacotes não conformes na amostra, e não confiar somente na média amostral.
(b)
(c) A norma se aplica a pacotes individuais; como cerca de