Uma máquina de empacotamento que abastece pacotes de feijão apresenta distribuição normal com média de 500 g e desvio padrão de 22 g . De acordo com as normas de defesa do consumidor, os pacotes de feijão não podem ter peso inferior a 2% do estabelecido na embalagem.
a-) Determine a probabilidade de um pacote selecionado aleatoriamente ter peso inferior a 490 g .
b-) Determine a probabilidade de 20 pacotes selecionados aleatoriamente, com reposição, terem peso médio inferior a 490 g .
c-) Considerando que, de acordo com as normas de defesa do consumidor, os pacotes de feijão não podem ter peso inferior a 2 \% do estabelecido na embalagem, como você interpreta os resultados dos itens anteriores? O que é mais indicado, selecionar um pacote ou uma amostra?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas. Informações relevantes:
  • A máquina produz pesos com distribuição normal de média \mu=500 g e desvio padrão \sigma=22 g.
  • A norma exige que um pacote não tenha peso inferior a 2\% do valor da embalagem. Como o rótulo é 500 g, o limite mínimo permitido é 98\% de 500 g, isto é \,0,98\cdot 500 = 490 g.
    Perguntas:
    a) Calcular a probabilidade de um pacote individual, selecionado aleatoriamente, ter peso inferior a 490 g.
    b) Calcular a probabilidade de que a média de 20 pacotes selecionados aleatoriamente (com reposição) seja inferior a 490 g.
    c) Interpretar os resultados e dizer o que é mais indicado: selecionar um pacote ou uma amostra (e por quê).

Passo 2

Teoria e método para o item (a): quando uma variável aleatória X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). Para calcular P(X<a) usamos a padronização para a normal padrão Z\sim N(0,1) com a fórmula de transformação
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui X\sim N(500,22^2). Queremos P(X<490). Aplicando a transformação:
Z=\frac{X-500}{22}.
Para X=490 obtemos o valor crítico
z=\frac{490-500}{22}=\frac{-10}{22}=-\frac{5}{11}\approx -0,4545.
Portanto
P(X<490)=P\Big(Z<-0,4545\Big).

Passo 3

Como usar a tabela da normal padrão: a tabela (ou função \Phi) fornece valores de \Phi(z)=P(Z\le z) para Z\sim N(0,1). Pela simetria da normal temos \Phi(-z)=1-\Phi(z). Assim
P\big(Z<-0,4545\big)=\Phi(-0,4545)=1-\Phi(0,4545).
Consultando valores próximos na tabela: \Phi(0,45)=0,6736 e \Phi(0,46)=0,6772. Fazemos uma interpolação linear para 0,4545 (que fica 45\% do caminho entre 0{,}45 e 0{,}46):
\Phi(0,4545)\approx 0,6736 + 0{,}45\cdot(0,6772-0,6736)\approx 0,67522.
Logo
P(X<490)\approx 1-0,67522=0,32478\approx 0,3248.

Passo 4

Interpretação parcial do item (a): a probabilidade de um pacote individual pesar menos de 490 g é aproximadamente 0{,}3248, ou seja cerca de 32{,}5\%. Isso já nos dá uma ideia de que, mesmo com média 500 g, a variabilidade ( \sigma=22 g) faz uma fração considerável de pacotes ficar abaixo do limite de 490 g.

Passo 5

Teoria e método para o item (b): seja \bar{X} a média de uma amostra de n=20 pacotes, com reposição (ou seja, independentes). Para a média amostral de variáveis normais temos exatamente
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).
Aqui \mu=500, \sigma=22 e n=20. Portanto o desvio padrão da média amostral é
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{22}{\sqrt{20}}.
Calculando numericamente:
\sqrt{20}\approx 4{,}4721\quad\Rightarrow\quad \sigma_{\bar{X}}\approx\frac{22}{4{,}4721}\approx 4{,}9193.
Queremos P(\bar{X}<490). Padronizando:
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}=\frac{\bar{X}-500}{4{,}9193}.
Para \bar{X}=490:
z=\frac{490-500}{4{,}9193}=\frac{-10}{4{,}9193}\approx -2{,}0328.
Assim
P(\bar{X}<490)=P\big(Z<-2{,}0328\big)=\Phi(-2{,}0328)=1-\Phi(2{,}0328).

Passo 6

Cálculo numérico do item (b) usando tabela da normal padrão: valores próximos são \Phi(2{,}03)=0{,}9788 e \Phi(2{,}04)=0{,}9793. Interpolando para 2{,}0328 (aprox. 0{,}28 do caminho entre 2{,}03 e 2{,}04):
\Phi(2{,}0328)\approx 0{,}9788 + 0{,}28\cdot(0{,}9793-0{,}9788)\approx 0{,}97894.
Então
P(\bar{X}<490)\approx 1-0{,}97894=0{,}02106\approx 0{,}0211.
Ou seja, cerca de 2{,}11\%.

Passo 7

Interpretação comparativa e resposta à parte (c):
  • Do item (a) vimos que um pacote individual tem probabilidade de cerca de 32{,}5\% de estar abaixo de 490 g; isto é elevado: quase um em cada três pacotes seria não conforme.
  • Do item (b) vimos que a média de 20 pacotes tem probabilidade de apenas cerca de 2{,}1\% de ficar abaixo de 490 g. Isso acontece porque o desvio padrão da média amostral é muito menor ( \sigma_{\bar{X}}=22/\sqrt{20}\approx 4{,}92 g), logo as médias são menos dispersas do que observações individuais.
    Interpretação prática: a norma exige que pacotes individuais não fiquem abaixo de 490 g. Portanto avaliar conformidade apenas pela média de uma amostra (isto é, calcular \bar{X} e comparar com 490) pode mascarar um problema: mesmo com média amostral acima de 490 (e com baixa probabilidade de \bar{X}<490), existe uma fração grande de pacotes individuais fora do especificado. Assim, para proteger o consumidor, o mais indicado é inspecionar pacotes individuais (ou contar a proporção de pacotes na amostra que violam o limite) — não apenas confiar na média da amostra. Se o objetivo for detectar se a máquina está sistematicamente subenchendo toda a produção, então o estudo da média (com amostras grandes) é útil; mas para controle de conformidade por pacote, a verificação individual é obrigatória.

Resposta

(a) P(X<490)\approx 0{,}3248
(b) P(\bar{X}<490)\approx 0{,}0211
(c) A norma se aplica a pacotes individuais; como cerca de 32{,}5\% dos pacotes individuais ficam abaixo de 490 g, a produção não está conforme. Usar apenas a média de uma amostra (onde a probabilidade de \bar{X}<490 é só \approx 2{,}1\%) pode esconder o problema. Portanto, para garantir a proteção do consumidor, é mais indicado verificar pacotes individuais ou a proporção de pacotes não conformes na amostra, e não confiar somente na média amostral.

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