4-) A altura de 3000 alunos de uma escola tem distribuição normal com média igual a 178 cm e desvio-padrão de 11 cm . Calcule a probabilidade de uma amostra aleatória, sem reposição, de 200 alunos apresentar média superior a 180 cm ?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a média de uma amostra aleatória, sem reposição, de 200 alunos tenha valor superior a 180 cm, quando sabemos que a altura dos 3000 alunos da escola é normalmente distribuída com média 178 cm e desvio-padrão 11 cm.
Informações dadas (listei para ficar claro):
N=3000,\quad \mu=178,\quad \sigma=11,\quad n=200.
Pergunta a responder:
\text{Calcular }P\!\big(\overline{X}>180\big).

Passo 2

Teoria necessária (explicada passo a passo, sem pular etapas).
  • Quando a população é normal, a distribuição da média amostral \overline{X} é exatamente normal (não é só aproximação): \overline{X}\sim N\!\left(\mu,\;\operatorname{Var}(\overline{X})\right).Aqui \mu é a média da população (cada amostra de tamanho n tem esperança \mu) e \operatorname{Var}(\overline{X}) é a variância da média amostral. Vou explicar cada símbolo: \mu é o valor médio verdadeiro das alturas na população (aqui 178 cm); \sigma é o desvio-padrão da população (aqui 11 cm); N é o tamanho da população (aqui 3000); n é o tamanho da amostra (aqui 200); \overline{X} é a média amostral, isto é, a média das alturas dos 200 alunos escolhidos.
  • Como a amostragem é sem reposição de uma população finita, precisamos incluir o fator de correção para população finita (FPC). A fórmula da variância da média amostral é: \operatorname{Var}(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}\cdot\frac{N-n}{N-1}.Explicando: \frac{\sigma^{2}}{n} é a variância da média se a amostragem fosse com reposição (ou população infinita); o fator \frac{N-n}{N-1} corrige a redução de variabilidade causada por tirar unidades sem reposição (quanto maior n em relação a N, maior a correção).
  • O desvio-padrão da média amostral (erro padrão) é a raiz quadrada da variância: \text{SE}=\sqrt{\operatorname{Var}(\overline{X})}=\sigma\sqrt{\frac{1}{n}\cdot\frac{N-n}{N-1}}.
  • Para calcular a probabilidade pedida, transformamos para a variável Z da normal padrão: Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\text{SE}}\sim N(0,1),e então usamos tabelas/valores da normal padrão para obter P(\overline{X}>180)=1-\Phi(z), onde z é o valor observado da estatística padronizada e \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 3

Vamos calcular a SE com os números do problema. Começo pela fórmula e simplifico numericamente:
\text{SE}=\sigma\sqrt{\frac{1}{n}\cdot\frac{N-n}{N-1}} =\;11\sqrt{\frac{1}{200}\cdot\frac{3000-200}{3000-1}}.
Calculo interno passo a passo:
3000-200=2800,\qquad 3000-1=2999,
\frac{1}{200}\cdot\frac{2800}{2999}=\frac{2800}{200\cdot 2999}=\frac{14}{2999}.
Portanto
\text{SE}=11\sqrt{\frac{14}{2999}}.
Agora a aproximação decimal (faço as etapas para você poder reproduzir sem calculadora razoável):
\frac{14}{2999}\approx 0,0046682227,
\sqrt{0,0046682227}\approx 0,06834,
\text{SE}\approx 11\times 0,06834\approx 0,7517.
Então, o erro padrão da média amostral é aproximadamente \text{SE}\approx 0,7517 cm.

Passo 4

Calcular a estatística z para o ponto 180 cm:
z=\frac{180-\mu}{\text{SE}}=\frac{180-178}{0,7517}=\frac{2}{0,7517}\approx 2,661.
Agora a probabilidade pedida:
P\!\big(\overline{X}>180\big)=1-\Phi(2,661).
Usando a tabela ou valor da normal padrão, \Phi(2,661)\approx 0,9961. Logo
P\!\big(\overline{X}>180\big)\approx 1-0,9961=0,0039.
Interpretação: a chance de que a média de uma amostra de 200 alunos (sem reposição) seja maior que 180 cm é muito baixa, cerca de 0,39\%.

Passo 5

Resumo rápido do raciocínio que você deve lembrar na prova:
  • Identifique se a população é normal: aqui sim ⇒ média amostral é exatamente normal.
  • Use a fórmula da variância com FPC quando a amostragem for sem reposição: \operatorname{Var}(\overline{X})=\dfrac{\sigma^{2}}{n}\dfrac{N-n}{N-1}.
  • Calcule SE, transforme para Z e use a normal padrão para obter a probabilidade da cauda.
    Se tiver pouco tempo na prova, memorize a forma final da SE com FPC e calcule z rapidamente.

Resposta

P(\overline{X}>180)\approx 0,0039\\ (0,39\%)

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