Um sinal em um canal de comunicação é detectado quando a voltagem é maior do que 1,5 volt em valor absoluto. Considere que a voltagem seja distribuída normalmente, com uma média de 0 (zero). Qual é o desvio-padrão da voltagem, tal que a probabilidade de um sinal falso seja 0,005 ?

Passo 1

O enunciado pede que encontremos o desvio-padrão da voltagem, denotado por \sigma, tal que a probabilidade de um sinal falso seja 0,005. Informações dadas:
\text{limiar de detecção: }1,5\text{ volt (em valor absoluto)},çã
\text{voltagem }X\sim N(0,\sigma^{2})\text{ (média }0\text{)},é
\text{probabilidade de sinal falso: }P(\text{sinal falso})=0,005.
O enunciado considera “sinal falso” quando a voltagem ultrapassa \pm 1,5 volt em valor absoluto, ou seja quando |X|>1,5.

Passo 2

Traduzimos a condição em probabilidade. O evento de sinal falso é \{|X|>1,5\}, então
P(|X|>1,5)=0,005.
Como a distribuição tem média zero e é simétrica em torno de zero, vale a propriedade
P(|X|>a)=2P(X>a)
para a>0. Aplicando com a=1,5 obtemos
2P(X>1,5)=0,005\quad\Rightarrow\quad P(X>1,5)=0,0025.

Passo 3

Vamos padronizar a variável para usar a tabela (ou função inversa) da Normal padrão. Definimos
Z=\frac{X}{\sigma}\sim N(0,1).
Portanto
P(X>1,5)=P\!\left(Z>\frac{1,5}{\sigma}\right)=0,0025.
Assim z^{*}=\dfrac{1,5}{\sigma} é o ponto tal que a cauda superior da Normal padrão vale 0,0025. Em termos da função de distribuição acumulada \Phi da Normal padrão, isso significa
\Phi(z^{*})=1-0,0025=0,9975.

Passo 4

Precisamos encontrar z^{*} tal que \Phi(z^{*})=0,9975. Esse valor é o quantil de nível 0{,}9975 da Normal padrão. Consultando uma tabela de Z ou usando uma calculadora/inversa da normal, obtemos aproximadamente
z^{*}\approx 2{,}807033.
(Em tabelas, procura-se a probabilidade 0{,}9975 na parte central e lê-se o z correspondente; pelo simétrico, também sabemos que P(Z>2{,}807033)=0{,}0025.)

Passo 5

Agora isolamos \sigma na igualdade z^{*}=\dfrac{1,5}{\sigma}:
\sigma=\frac{1,5}{z^{*}}.
Substituindo z^{*}\approx 2{,}807033 temos
\sigma\approx\frac{1,5}{2{,}807033}\approx 0{,}53466\\ \text{volt}.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar \sigma\approx 0{,}535 volt.

Passo 6

Interpretação rápida: com \sigma\approx 0{,}535 volt, a probabilidade de que a voltagem, centrada em zero, exceda 1{,}5 volt em módulo é 0{,}005. Se precisar usar tabelas sem calculadora, procure o valor de z com cauda 0{,}0025 (ou de área acumulada 0{,}9975) e divida 1{,}5 por esse z. Você conseguiu — está na reta final!

Resposta

\sigma \approx 0{,}535\\ \text{volt}

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