Os 400 empregados de uma prestadora de serviços recebem em média R
800,00
$300,00$. Os salários apresentam uma distribuição normal. Foi levantada uma amostra com 35 empregados, sem reposição. Determinar:
a-) a média e o desvio-padrão da distribuição amostral das médias;
b-) qual a probabilidade de uma amostra de 35 empregados apresentar salário médio entre R$720,00 e R$ 850,00?
c-) qual a probabilidade de uma amostra apresentar salário médio maior ou igual a R$870,00?
a-) a média e o desvio-padrão da distribuição amostral das médias;
b-) qual a probabilidade de uma amostra de 35 empregados apresentar salário médio entre R$720,00 e R$ 850,00?
c-) qual a probabilidade de uma amostra apresentar salário médio maior ou igual a R$870,00?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas claras:
- População tem
empregados. - A média populacional dos salários é
R$ . - O desvio-padrão populacional é
R$ . - Foi retirada uma amostra de tamanho
, sem reposição. - A distribuição dos salários é normal.
Perguntas:
a) Determinar a média e o desvio-padrão da distribuição amostral das médias (ou seja, da média amostral ).
b) Calcular .
c) Calcular .
a) Determinar a média e o desvio-padrão da distribuição amostral das médias (ou seja, da média amostral
b) Calcular
c) Calcular
Passo 2
O que é a distribuição amostral da média e qual sua média?
- Quando tiramos amostras aleatórias de uma população, a média das amostras
tem distribuição com média igual à média da população. Em símbolos:
- Aqui, isso significa que a média da distribuição amostral é
R$ .
Explicação curta: intuitivamente, em média as médias das amostras “acertam” a média verdadeira da população.
Passo 3
Qual é o desvio-padrão da distribuição amostral (erro-padrão) quando a amostra é retirada sem reposição?
- Se a amostragem fosse com reposição (ou a população fosse muito grande), o erro-padrão seria
onde
é o desvio-padrão populacional e
o tamanho da amostra. Aqui
é o “quanto os salários variam” e
reduz essa variação ao tirar média.
- Como a amostragem é sem reposição e a população tem tamanho finito
, devemos aplicar o fator de correção conhecido como FPC (finite population correction). A fórmula completa é:
Aqui:
-
é o desvio-padrão da média amostral, -
é tamanho da população, -
é tamanho da amostra.
A razão é: sem reposição as observações não são independentes perfeitas; o FPC reduz o erro-padrão quando a amostra não é desprezivelmente pequena frente à população.
Passo 4
Calcular numericamente o desvio-padrão da distribuição amostral usando os dados do problema.
Usamos a fórmula
Substituindo
R$
,
,
:
Primeiro calcule
:
Então
Agora o fator de correção:
e sua raiz:
Multiplicando:
Portanto a distribuição amostral tem média R$
e desvio-padrão (erro-padrão) aproximadamente R$
.
Passo 5
Preparação para calcular probabilidades: transformação em
(normal padrão).
- Como os salários na população são normais, a média amostral
também tem distribuição normal: . - Para calcular probabilidades usamos a transformação (padronização):
onde
tem distribuição normal padrão
. Assim
Vou aplicar isso nas partes (b) e (c) com
R$
e
R$
.
Passo 6
Parte (b): calcular
.
Calcule os
-escores das duas pontas:
Então
Usando tabela da normal padrão (ou calculadora):
-
(valor acumulado até ), -
(usei , arredondei).
Logo
Interpretação: cerca de
das amostras de tamanho
terão média entre R$
e R$
.
Passo 7
Parte (c): calcular
.
Calcule o
-score:
Então
Usando tabela da normal padrão:
(aproximação entre os valores para
e
).
Portanto
Interpretação: cerca de
das amostras de tamanho
terão média maior ou igual a R$
.
Resposta
a)
R$
;
R$
.
b)
c)
b)
c)