Os 400 empregados de uma prestadora de serviços recebem em média R \ 800,00 com desvio-padrão de Rã$300,00$. Os salários apresentam uma distribuição normal. Foi levantada uma amostra com 35 empregados, sem reposição. Determinar:
a-) a média e o desvio-padrão da distribuição amostral das médias;
b-) qual a probabilidade de uma amostra de 35 empregados apresentar salário médio entre R$720,00 e R$ 850,00?
c-) qual a probabilidade de uma amostra apresentar salário médio maior ou igual a R$870,00?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas claras:
  • População tem N = 400 empregados.
  • A média populacional dos salários é \mu = R$ 800{,}00.
  • O desvio-padrão populacional é \sigma = R$ 300{,}00.
  • Foi retirada uma amostra de tamanho n = 35, sem reposição.
  • A distribuição dos salários é normal.
Perguntas:
a) Determinar a média e o desvio-padrão da distribuição amostral das médias (ou seja, da média amostral \bar X).
b) Calcular P\big(720{,}00 \le \bar X \le 850{,}00\big).
c) Calcular P\big(\bar X \ge 870{,}00\big).

Passo 2

O que é a distribuição amostral da média e qual sua média?
  • Quando tiramos amostras aleatórias de uma população, a média das amostras \bar X tem distribuição com média igual à média da população. Em símbolos:
\mu_{\bar X} = \mu.
  • Aqui, isso significa que a média da distribuição amostral é \mu_{\bar X} = R$ 800{,}00.
Explicação curta: intuitivamente, em média as médias das amostras “acertam” a média verdadeira da população.

Passo 3

Qual é o desvio-padrão da distribuição amostral (erro-padrão) quando a amostra é retirada sem reposição?
  • Se a amostragem fosse com reposição (ou a população fosse muito grande), o erro-padrão seria
\text{se} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde \sigma é o desvio-padrão populacional e n o tamanho da amostra. Aqui \sigma é o “quanto os salários variam” e \sqrt{n} reduz essa variação ao tirar média.
  • Como a amostragem é sem reposição e a população tem tamanho finito N, devemos aplicar o fator de correção conhecido como FPC (finite population correction). A fórmula completa é:
\sigma_{\bar X} \;=\; \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\;\sqrt{\frac{N-n}{\,N-1\,}}.
Aqui:
  • \sigma_{\bar X} é o desvio-padrão da média amostral,
  • N é tamanho da população,
  • n é tamanho da amostra.
A razão é: sem reposição as observações não são independentes perfeitas; o FPC reduz o erro-padrão quando a amostra não é desprezivelmente pequena frente à população.

Passo 4

Calcular numericamente o desvio-padrão da distribuição amostral usando os dados do problema.
Usamos a fórmula
\sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}.
Substituindo \sigma = R$ 300{,}00, n = 35, N = 400:
Primeiro calcule \sqrt{n}:
\sqrt{35} \approx 5{,}91608.
Então
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{300}{5{,}91608} \approx 50{,}724337\\ (\text{R\$}).
Agora o fator de correção:
\frac{N-n}{N-1} = \frac{400-35}{400-1} = \frac{365}{399} \approx 0{,}914785,
e sua raiz:
\sqrt{\frac{365}{399}} \approx 0{,}95644.
Multiplicando:
\sigma_{\bar X} \approx 50{,}724337 \times 0{,}95644 \approx 48{,}53\\ (\text{R\$}).
Portanto a distribuição amostral tem média R$ 800{,}00 e desvio-padrão (erro-padrão) aproximadamente R$ 48{,}53.

Passo 5

Preparação para calcular probabilidades: transformação em Z (normal padrão).
  • Como os salários na população são normais, a média amostral \bar X também tem distribuição normal: \bar X \sim N(\mu_{\bar X},\,\sigma_{\bar X}^2).
  • Para calcular probabilidades usamos a transformação (padronização):
Z=\frac{\bar X - \mu_{\bar X}}{\sigma_{\bar X}},
onde Z tem distribuição normal padrão N(0,1). Assim
P(a \le \bar X \le b) = P\!\left(\frac{a-\mu_{\bar X}}{\sigma_{\bar X}} \le Z \le \frac{b-\mu_{\bar X}}{\sigma_{\bar X}}\right).
Vou aplicar isso nas partes (b) e (c) com \mu_{\bar X}= R$ 800{,}00 e \sigma_{\bar X}\approx R$ 48{,}53.

Passo 6

Parte (b): calcular P\big(720{,}00 \le \bar X \le 850{,}00\big).
Calcule os z-escores das duas pontas:
z_1 = \frac{720{,}00 - 800{,}00}{48{,}53} = \frac{-80{,}00}{48{,}53} \approx -1{,}649,
z_2 = \frac{850{,}00 - 800{,}00}{48{,}53} = \frac{50{,}00}{48{,}53} \approx 1{,}031.
Então
P(720 \le \bar X \le 850) = P(-1{,}649 \le Z \le 1{,}031).
Usando tabela da normal padrão (ou calculadora):
  • \Phi(1{,}031) \approx 0{,}8487 (valor acumulado até 1{,}031),
  • \Phi(-1{,}649) = 1 - \Phi(1{,}649) \approx 1 - 0{,}9500 = 0{,}0500 (usei \Phi(1{,}65)\approx 0{,}9505, arredondei).
Logo
P = \Phi(1{,}031) - \Phi(-1{,}649) \approx 0{,}8487 - 0{,}0500 = 0{,}7987 \approx 0{,}799.
Interpretação: cerca de 79{,}9\% das amostras de tamanho 35 terão média entre R$ 720{,}00 e R$ 850{,}00.

Passo 7

Parte (c): calcular P\big(\bar X \ge 870{,}00\big).
Calcule o z-score:
z = \frac{870{,}00 - 800{,}00}{48{,}53} = \frac{70{,}00}{48{,}53} \approx 1{,}443.
Então
P(\bar X \ge 870) = P(Z \ge 1{,}443) = 1 - \Phi(1{,}443).
Usando tabela da normal padrão:
\Phi(1{,}443)\approx 0{,}9252 (aproximação entre os valores para 1{,}44 e 1{,}45).
Portanto
P(\bar X \ge 870) \approx 1 - 0{,}9252 = 0{,}0748 \approx 0{,}075.
Interpretação: cerca de 7{,}5\% das amostras de tamanho 35 terão média maior ou igual a R$ 870{,}00.

Resposta

a) \mu_{\bar X} = R$ 800{,}00; \sigma_{\bar X} \approx R$ 48{,}53.
b) P(720{,}00 \le \bar X \le 850{,}00) \approx 0{,}799.
c) P(\bar X \ge 870{,}00) \approx 0{,}075.

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