A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com média 510 g e desvio padrão 10g. Programou-se uma carta de controle de qualidade, onde, de hora em hora, será retirada uma amostra de quatro pacotes, os quais serão pesados. Se a média da amostra for inferior a 490 g ou superior a 520 g , encerra-se a produção para reajustar a máquina, isto é, reajustar o peso médio. Qual é a probabilidade de ser feita uma parada desnecessária?

Passo 1

O enunciado diz que o peso de cada pacote segue uma distribuição normal com média μ = 510 g e desvio padrão σ = 10 g. A cada hora retiramos uma amostra de n = 4 pacotes e calculamos a média amostral . Se g ou g, paramos a máquina — mesmo que ela esteja regulada em 510 g.
Conteúdo envolvido:
  • Distribuição normal
  • Distribuição da média amostral (quando a população é normal)
  • Cálculo de probabilidades via padronização (Z) e tabela da Normal padrão

Passo 2

Como a população é normal, a média amostral E(bar X)=mu=510, sigmabar X=sigmaraizn=10raiz4=5 também é normal, com
Ou seja, .

Passo 3

Vamos achar
P(bar X<490)
Padronizando, definimos
Z=bar X - 5105
Para z = 490 - 5105 = -4 :
P(bar X<490) = Pl(Z< -4r) = Phi(-4)approx 0,00003
Então

Passo 4

Agora calculamos
P(bar X>520)
Para z = 520 - 5105 = 2 :
P(bar X>520) = 1 - P(Z<= 2) = 1 - Phi(2)approx 1 - 0,9772 = 0,0228
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Passo 5

Como as duas regiões de parada são mutuamente exclusivas, somamos as probabilidades:
P(bar X<490 ;ou; bar X>520) = Phi(-4) + l[1 - Phi(2)r] approx 0,00003 + 0,0228 = 0,02283

Resposta

A probabilidade de uma parada desnecessária é de aproximadamente 0,0228 (ou 2,28 %).

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