Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 12 retirada de uma população com distribuição Bernoulli com parâmetro p. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro p dada a amostra observada, ou seja, log L(p mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
111011010110
O valor de log L(p=0.4 mid x), é de:
square

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de 12 observações que seguem uma distribuição Bernoulli com parâmetro $ p $. A distribuição Bernoulli é usada para modelar experimentos que têm apenas dois resultados possíveis: sucesso (1) ou fracasso (0). O parâmetro $ p $ representa a probabilidade de sucesso em um único ensaio.
Aqui, a gente precisa encontrar a função de log verossimilhança $ \log L(p \mid \mathbf{x}) $ para o parâmetro $ p $ com base na amostra observada $ \mathbf{x} $. Depois, vamos calcular o valor dessa função quando $ p = 0.4 $, deixando o resultado com duas casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função de verossimilhança. Para uma amostra de dados, a verossimilhança é a probabilidade de observarmos esses dados dado um certo valor de $ p $. No caso da distribuição Bernoulli, a verossimilhança para cada observação $ x_i $ é:
p
Como temos uma amostra de 12 observações independentes, a verossimilhança total é o produto das verossimilhanças individuais:
xi

Passo 3

Agora, para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com a função de log verossimilhança, que é o logaritmo da função de verossimilhança:
log L(p mid x) = sumi=1^12 [ xi log(p) + (1 - xi) log(1 - p) ]
Isso é útil porque transforma o produto em uma soma, o que simplifica os cálculos, especialmente quando temos muitas observações.

Passo 4

Vamos analisar a nossa amostra: 111011010110. Isso significa que temos 1’s e 0’s. Para calcular a soma, precisamos saber quantos 1’s e quantos 0’s temos nessa amostra.
Contando os 1’s:
1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0 → Total de 1’s: 8
E, consequentemente, 0’s: 12 - 8 = 4

Passo 5

Substituindo esses valores na função de log verossimilhança:
log L(p mid x) = 8 log(p) + 4 log(1 - p)
Agora, queremos calcular esse valor específico quando $ p = 0.4 $.

Passo 6

Vamos substituir $ p = 0.4 $ na equação:
p = 0.4
Simplificando:
log L(0.4 mid x) = 8 log(0.4) + 4 log(1 - 0.4)

Passo 7

Agora, vamos calcular cada termo separadamente usando logaritmo natural (ln):
log(0.4) approx -0.9163
log(0.6) approx -0.5108
Multiplicando pelos coeficientes:
8 times (-0.9163) = -7.3304
4 times (-0.5108) = -2.0432

Passo 8

Somando os dois resultados:
-7.3304 + (-2.0432) = -9.3736
A função de log verossimilhança para $ p = 0.4 $ é aproximadamente -9.37.

Resposta

log L(p=0.4 mid x) approx -9.37

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