Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 12 retirada de uma população com distribuição Bernoulli com parâmetro
. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
111011010110
O valor de
, é de:
111011010110
O valor de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de 12 observações que seguem uma distribuição Bernoulli com parâmetro $ p $. A distribuição Bernoulli é usada para modelar experimentos que têm apenas dois resultados possíveis: sucesso (1) ou fracasso (0). O parâmetro $ p $ representa a probabilidade de sucesso em um único ensaio.
Aqui, a gente precisa encontrar a função de log verossimilhança $ \log L(p \mid \mathbf{x}) $ para o parâmetro $ p $ com base na amostra observada $ \mathbf{x} $. Depois, vamos calcular o valor dessa função quando $ p = 0.4 $, deixando o resultado com duas casas decimais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função de verossimilhança. Para uma amostra de dados, a verossimilhança é a probabilidade de observarmos esses dados dado um certo valor de $ p $. No caso da distribuição Bernoulli, a verossimilhança para cada observação $ x_i $ é:
Como temos uma amostra de 12 observações independentes, a verossimilhança total é o produto das verossimilhanças individuais:
Passo 3
Agora, para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com a função de log verossimilhança, que é o logaritmo da função de verossimilhança:
Isso é útil porque transforma o produto em uma soma, o que simplifica os cálculos, especialmente quando temos muitas observações.
Passo 4
Vamos analisar a nossa amostra: 111011010110. Isso significa que temos 1’s e 0’s. Para calcular a soma, precisamos saber quantos 1’s e quantos 0’s temos nessa amostra.
Contando os 1’s:
1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0 → Total de 1’s: 8
E, consequentemente, 0’s: 12 - 8 = 4
Passo 5
Substituindo esses valores na função de log verossimilhança:
Agora, queremos calcular esse valor específico quando $ p = 0.4 $.
Passo 6
Vamos substituir $ p = 0.4 $ na equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular cada termo separadamente usando logaritmo natural (ln):
Multiplicando pelos coeficientes:
Passo 8
Somando os dois resultados:
A função de log verossimilhança para $ p = 0.4 $ é aproximadamente -9.37.