Uma máquina enche latas de detergente cujos volumes se comportam de acordo com o modelo Normal. Considere que uma amostra de 20 latas são observadas, as quais apresentam um volume médio de 4953.3 ml e uma variância s^2 igual a 2067.9. Determine um intervalo com 90 % de confiança para o verdadeiro volume médio das latas de detergente (em ml). Utilize 2 casas decimais.
Qual é o limite superior do intervalo de confiança? square

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou trata de estatística, mais especificamente de intervalo de confiança para a média de volumes das latas de detergente. A gente vai precisar usar conceitos de distribuição Normal, média amostral, variância e o cálculo do intervalo de confiança com base na amostra fornecida. Vamos descobrir qual é o limite superior desse intervalo com 90% de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Tamanho da amostra (n): 20 latas
  • Média amostral ( barx): 4953,3 ml
  • Variância amostral ( s^2): 2067,9 ml²
Queremos encontrar o intervalo de confiança para a média verdadeira dos volumes das latas com 90% de confiança.

Passo 3

Como a população segue uma distribuição Normal e a amostra é pequena ( n < 30), vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. Isso porque, quando a variância da população não é conhecida, e a amostra é pequena, a distribuição t é mais apropriada que a normal.

Passo 4

Para calcular o intervalo de confiança, precisamos determinar o valor crítico da distribuição t para 90% de confiança e com graus de liberdade ( df) iguais a n - 1.
df = n - 1 = 20 - 1 = 19
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos o valor crítico talpha/2 para 90% de confiança e 19 graus de liberdade. O valor aproximado é:
t0.05, 19 approx 1.729

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média ( SE), que é a medida da variabilidade da média amostral. A fórmula é:
SE = sraizn
Onde s é o desvio padrão amostral. Primeiro, encontramos s a partir da variância:
s = raizs^2 = raiz2067,9 approx 45,47 , ml
Então,
SE = 45,47raiz20 approx 45,474,472 approx 10,16 , ml

Passo 6

Com o valor crítico e o erro padrão, calculamos a margem de erro ( ME):
ME = talpha/2 times SE = 1.729 times 10,16 approx 17,53 , ml

Passo 7

Agora, determinamos o intervalo de confiança usando a média amostral e a margem de erro:
Intervalo de Confiança = barx pm ME = 4953,3 pm 17,53 ç
Isso nos dá:
4953,3 - 17,53 = 4935,77 , ml
4953,3 + 17,53 = 4970,83 , ml
Então, o intervalo de confiança é de aproximadamente 4935,77 ml a 4970,83 ml.

Resposta

O limite superior do intervalo de confiança é 4970,83 ml.

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