Uma máquina enche latas de detergente cujos volumes se comportam de acordo com o modelo Normal. Considere que uma amostra de 20 latas são observadas, as quais apresentam um volume médio de 4953.3 ml e uma variância
igual a 2067.9. Determine um intervalo com
de confiança para o verdadeiro volume médio das latas de detergente (em ml). Utilize 2 casas decimais.
Qual é o limite superior do intervalo de confiança?
Qual é o limite superior do intervalo de confiança?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou trata de estatística, mais especificamente de intervalo de confiança para a média de volumes das latas de detergente. A gente vai precisar usar conceitos de distribuição Normal, média amostral, variância e o cálculo do intervalo de confiança com base na amostra fornecida. Vamos descobrir qual é o limite superior desse intervalo com 90% de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Tamanho da amostra (n): 20 latas
- Média amostral (
): 4953,3 ml - Variância amostral (
): 2067,9 ml²
Queremos encontrar o intervalo de confiança para a média verdadeira dos volumes das latas com 90% de confiança.
Passo 3
Como a população segue uma distribuição Normal e a amostra é pequena (
), vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. Isso porque, quando a variância da população não é conhecida, e a amostra é pequena, a distribuição t é mais apropriada que a normal.
Passo 4
Para calcular o intervalo de confiança, precisamos determinar o valor crítico da distribuição t para 90% de confiança e com graus de liberdade (
) iguais a
.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos o valor crítico
para 90% de confiança e 19 graus de liberdade. O valor aproximado é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média (
), que é a medida da variabilidade da média amostral. A fórmula é:
Onde
é o desvio padrão amostral. Primeiro, encontramos
a partir da variância:
Então,
Passo 6
Com o valor crítico e o erro padrão, calculamos a margem de erro (
):
Passo 7
Agora, determinamos o intervalo de confiança usando a média amostral e a margem de erro:
Isso nos dá:
Então, o intervalo de confiança é de aproximadamente 4935,77 ml a 4970,83 ml.
Resposta
O limite superior do intervalo de confiança é 4970,83 ml.