Seja (
) vetor aleatório no setor cilíndrico
admitindo densidade em
na forma
. Usando a transformação
,
(a) determine o valor da constante
;
(b) calcule
para
e, a partir daí, densidade para
.
(c) Obtenha densidade conjunta para o vetor
dado
.
Lembrando: sen
.
(a) determine o valor da constante
(b) calcule
(c) Obtenha densidade conjunta para o vetor
Passo 1
O enunciado considera o vetor aleatório
com densidade
no setor cilíndrico
Precisamos fazer três coisas:
- Determinar a constante de normalização
. - Calcular a função de distribuição
para e, a partir daí, obter a densidade marginal de . - Obter a densidade condicional conjunta de
dado .
Passo 2
Para achar
usamos a condição
Em coordenadas cilíndricas (no quarto de círculo
,
), temos
Então
Como
segue
Além disso
Logo a normalização é
Passo 3
Para a função de distribuição de
, calcule
Passo 4
A densidade marginal de
é a derivada da CDF:
para
.
Passo 5
A densidade condicional conjunta de
dado
é
válida para
,
,
.
Resposta
(a)
(b) e
para
(c) ,
.
(b)
(c)