Seja ( X, Y, Z ) vetor aleatório no setor cilíndrico
S=(x, y, z): x>0 ; y>0 ; x^2+y^2<1 ; 0<z<1
admitindo densidade em S na forma f(x, y, z)=c x y z. Usando a transformação x= r cos theta, y=r sen theta,
(a) determine o valor da constante c;
(b) calcule P(Z <= z) para 0<z<1 e, a partir daí, densidade para Z.
(c) Obtenha densidade conjunta para o vetor (X, Y) dado Z=z.
Lembrando: sen 2 theta=2 sen theta cos theta.

Passo 1

O enunciado considera o vetor aleatório (X,Y,Z) com densidade
f(x,y,z)=c,x,y,z
no setor cilíndrico
S=(x,y,z)mid x>0,;y>0,;x^2+y^2<1,;0<z<1
Precisamos fazer três coisas:
  1. Determinar a constante de normalização c.
  2. Calcular a função de distribuição P(Z<= z) para 0<z<1 e, a partir daí, obter a densidade marginal de Z.
  3. Obter a densidade condicional conjunta de (X,Y) dado Z=z.

Passo 2

Para achar c usamos a condição
integralS f(x,y,z),dx,dy,dz = 1
Em coordenadas cilíndricas (no quarto de círculo 0<=theta<=pi/2, 0<= r<=1), temos
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta
Então
integralx>0,y>0,x^2+y^2<1!x,y,dx,dy =integral0^pi/2!integral0^1(rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta =integral0^pi/2!costhetasintheta,dtheta;integral0^1r^3,dr
Como
integral0^1r^3,dr=tfrac14, integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta=tfrac12,
segue
integralx,y no quarto de círculox,y,dx,dy = tfrac12cdottfrac14=tfrac18 í
Além disso
integral0^1z,dz=tfrac12
Logo a normalização é
integralS f = c;18;12 = c16 = 1 Longrightarrow c = 16

Passo 3

Para a função de distribuição de Z, calcule
P(Z<= z) =integralt=0^z!l[integralx,yf(x,y,t),dx,dyr]dt =integral0^zc,t;18,dt =c8integral0^zt,dt =168,z^22 =z^2

Passo 4

A densidade marginal de Z é a derivada da CDF:
fZ(z) = ddzP(Z<= z) = ddz(z^2) = 2z,
para 0<z<1.

Passo 5

A densidade condicional conjunta de (X,Y) dado Z=z é
fX,Ymid Z(x,ymid z) =f(x,y,z)fZ(z) =16,x,y,z2z =8,x,y,
válida para x>0, y>0, x^2+y^2<1.

Resposta

(a) c=16
(b) P(Z<= z)=z^2 e fZ(z)=2z para 0<z<1
(c) fX,Ymid Z(x,ymid z)=8,x,y, x>0,y>0,x^2+y^2<1.

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