Uma máquina de enchimento de garrafas (1L) de azeite de oliva opera envasando 302 garrafas por hora. A máquina está programada para preencher aproximadamente 1 litro por garrafa. Esse volume é uma variável aleatória e se distribui de forma normal com valor esperado de 972 mL e desvio padrão 17 mL . A massa (g) das garrafas vazias utilizadas no envase se distribui de forma normal com valor esperado de 419 g e desvio padrão 17 g .
Sabe-se que a densidade do azeite de oliva obtido na temporada 2021 é de 0.918 [g/mL]. Após o envase as garrafas são arranjadas em caixas de papelão, cada caixa contendo 12 garrafas. Após um dia de 18 horas de processo de envase todas as garrafas foram organizadas e encaixotadas nas caixas de papelão.
(obs: densidade é uma relação entre a massa e o volume de um material - densidade [g/mL] = massa [g] / volume [mL])
Ao final do dia de produção (18 horas) uma amostra aleatória de tamanho 315 dessa população finita de garrafas é
selecionada e a massa é obtida. Qual é a probabilidade da massa [g] média dessas garrafas ser superior a 1.309 [kg] ?

Passo 1

Resumo do enunciado: cada garrafa sai com volume de azeite Xsim N(muX=972,;sigmaX=17) mL e a garrafa vazia pesa Ysim N(muY=419,;sigmaY=17) g, independentes. A densidade do azeite é 0,918 g/mL, logo a massa do azeite em cada garrafa é Z=0,918,X. No dia produzem N=302times18=5436 garrafas e faz‐se uma amostra aleatória de tamanho n=315. Queremos
a probabilidade de a média amostral da massa total (garrafa vazia + azeite) exceder 1,309 kg.

Passo 2

Distribuição da massa de azeite Z: como é transformação linear de X,
Z sim Nl(0,918,muX,;(0,918,sigmaX)^2r) = Nl(0,918times972,;(0,918times17)^2r)
Logo muZ=972times0,918=892,296 g e sigmaZ=17times0,918=15,606 g.

Passo 3

Massa total de cada garrafa T=Y+Z. Soma de normais independentes é normal com
muT=muY+muZ=419+892,296=1311,296 g,
sigmaT^2=sigmaY^2+sigmaZ^2=17^2+15,606^2=289+243,56=532,56,
logo sigmaT=raiz532,56=23,08 g.

Passo 4

Para amostra simples de tamanho n=315 em população finita de N=5436, a média amostral T é normal com
E(T)=muT, Var(T)=sigmaT^2nl(1-nNr)
Substituindo,
Var(T) =532,56315l(1-3155436r) approx1,592,
sd(T)=raiz1,592approx1,262 g

Passo 5

Queremos
Pl(T>1,309 kgr) =Pl(T>1309 gr) =P!l(Z>1309-muTsd(T)r),
onde
1309-1311,2961,262=-1,82
Assim
Pl(T>1309r) =P(Z>-1,82)=Phi(1,82)approx0,9656

Resposta

A probabilidade de a média amostral exceder 1,309 kg é aproximadamente 0,966.

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