Uma máquina de enchimento de garrafas (1L) de azeite de oliva opera envasando 302 garrafas por hora. A máquina está programada para preencher aproximadamente 1 litro por garrafa. Esse volume é uma variável aleatória e se distribui de forma normal com valor esperado de 972 mL e desvio padrão 17 mL . A massa (g) das garrafas vazias utilizadas no envase se distribui de forma normal com valor esperado de 419 g e desvio padrão 17 g .
Sabe-se que a densidade do azeite de oliva obtido na temporada 2021 é de 0.918 [g/mL]. Após o envase as garrafas são arranjadas em caixas de papelão, cada caixa contendo 12 garrafas. Após um dia de 18 horas de processo de envase todas as garrafas foram organizadas e encaixotadas nas caixas de papelão.
(obs: densidade é uma relação entre a massa e o volume de um material - densidade [g/mL] = massa [g] / volume [mL])
Ao final do dia de produção (18 horas) uma amostra aleatória de tamanho 315 dessa população finita de garrafas é
selecionada e a massa é obtida. Qual é a probabilidade da massa [g] média dessas garrafas ser superior a 1.309 [kg] ?
Passo 1
Resumo do enunciado: cada garrafa sai com volume de azeite mL e a garrafa vazia pesa g, independentes. A densidade do azeite é g/mL, logo a massa do azeite em cada garrafa é . No dia produzem garrafas e faz‐se uma amostra aleatória de tamanho . Queremos
a probabilidade de a média amostral da massa total (garrafa vazia + azeite) exceder kg.
Passo 2
Distribuição da massa de azeite : como é transformação linear de ,
Logo g e g.
Passo 3
Massa total de cada garrafa . Soma de normais independentes é normal com
logo g.
Passo 4
Para amostra simples de tamanho em população finita de , a média amostral é normal com
E(T)=muT, Var(T)=sigmaT^2nl(1-nNr)
Substituindo,
Var(T) =532,56315l(1-3155436r) approx1,592,
sd(T)=raiz1,592approx1,262 g
Passo 5
Queremos
Pl(T>1,309 kgr) =Pl(T>1309 gr) =P!l(Z>1309-muTsd(T)r),
onde
1309-1311,2961,262=-1,82
Assim
Pl(T>1309r) =P(Z>-1,82)=Phi(1,82)approx0,9656
Resposta
A probabilidade de a média amostral exceder 1,309 kg é aproximadamente 0,966.