Seja Z variável aleatória no intervalo (0,1) com densidade g. Seja R uma região limitada no plano x y cuja área é igual a s. Suponha que (X, Y, Z) é vetor aleatório no prisma
P=(x, y, z):(x, y) in R ; 0<z<1
admitindo densidade f(x, y, z)=c g(z). Determine o valor de c em função de s.

Passo 1

O enunciado dá um vetor aleatório (X,Y,Z) que vive no prisma
P = (x,y,z)mid (x,y)in R,;0<z<1
onde R é uma região de área s, e a densidade conjunta vale
f(x,y,z) = c,g(z),
sendo g a densidade de Z em (0,1). Queremos achar c em função de s.

Passo 2

Como f é densidade conjunta, ela deve satisfazer
integralP f(x,y,z),dx,dy,dz = 1

Passo 3

Escrevendo a integral em duas partes, sobre (x,y) e sobre z:
integralP c,g(z),dx,dy,dz = c integralR!!integral0^1 g(z),dz,dx,dy

Passo 4

Sabemos que integral0^1g(z),dz = 1 (pois g é densidade em (0,1)) e integralRdx,dy = s. Logo
c cdot s cdot 1 = 1 Longrightarrow c = 1s

Resposta

c = 1s.

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