Uma máquina de enchimento de garrafas (1L) de azeite de oliva opera envasando 302 garrafas por hora. A máquina está programada para preencher aproximadamente 1 litro por garrafa. Esse volume é uma variável aleatória e se distribui de forma normal com valor esperado de 972 mL e desvio padrão 17 mL . A massa (g) das garrafas vazias utilizadas no envase se distribui de forma normal com valor esperado de 419 g e desvio padrão 17 g .
Sabe-se que a densidade do azeite de oliva obtido na temporada 2021 é de 0.918 [g/mL]. Após o envase as garrafas são arranjadas em caixas de papelão, cada caixa contendo 12 garrafas. Após um dia de 18 horas de processo de envase todas as garrafas foram organizadas e encaixotadas nas caixas de papelão.
(obs: densidade é uma relação entre a massa e o volume de um material - densidade [g/mL] = massa [g] / volume [mL])
Qual deveria ser o valor esperado do volume [mL] de azeite de oliva em uma garrafa, para que apenas 1.66 % dos volumes ultrapassem um litro?
[mL]

Passo 1

O enunciado pede o valor esperado mu do volume (em mL) tal que apenas 1,66% das garrafas ultrapassem 1000 mL. Aqui a variável aleatória do volume X se distribui como
X sim N(mu,sigma^2)
com sigma=17 mL, e queremos
P(X>1000)=0,0166

Passo 2

Para usar a normal padrão, definimos
Z = X - musigma,
então
P(X>1000) = Pl(Z > 1000-mu17r)

Passo 3

Exigimos que essa probabilidade seja 0,0166. Logo
Pl(Z > 1000-mu17r)=0,0166
implica
1000-mu17 = z0,0166,
onde z0,0166 é o quantil que deixa 1,66% de área à sua direita.

Passo 4

O quantil da normal padrão que deixa 0,0166 à direita é
z0,0166 = Phi^-1(1-0,0166) = Phi^-1(0,9834)approx 2,13

Passo 5

Isolando mu na equação
1000-mu17=2,13
vem
mu = 1000 - 17times 2,13 approx 963,8 mL

Resposta

O valor esperado deve ser aproximadamente 963,8 mL.

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