Uma máquina de ensacar determinado produto apresenta variações de peso (distribuído normalmente) com desvio padrão de 3 kg .
Se a máquina for regulada com um peso médio de 64 kg , qual é a probabilidade de se obter sacos com menos de 55 kg ?
Se a máquina for regulada com um peso médio de 64 kg , qual é a probabilidade de se obter sacos com menos de 55 kg ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está em seguida.
- A máquina produz pesos com distribuição normal, com desvio padrão
kg. - A máquina está regulada com média (peso médio)
kg. - Pergunta: qual é a probabilidade de obter sacos com menos de
kg, ou seja, calcular quando é o peso do saco.
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (aula curta e prática). Quando uma variável aleatória
tem distribuição normal com média
e desvio padrão
, escrevemos isso como
. Para calcular probabilidades do tipo
usamos a padronização para transformar
numa normal padrão
, que tem média
e desvio padrão
.
A fórmula de padronização é:
Aqui:
-
é a variável original (peso do saco), -
é a média (no caso ), -
é o desvio padrão (no caso ), -
é a variável normal padrão .
A ideia é que
. Depois consultamos a tabela da normal padrão (ou usamos propriedades da simetria) para obter o valor numérico.
Passo 3
Aplicando a padronização ao valor
:
Interpretação:
kg está
desvios padrão abaixo da média (
sigma abaixo).
Passo 4
Agora convertemos a probabilidade:
Para a normal padrão usamos a função de distribuição acumulada
, onde
. Assim
. Usando a simetria da normal e valores tabelados:
Da tabela da normal padrão sabemos que
. Portanto
Em porcentagem isso é aproximadamente
. Intuitivamente: é muito raro obter um saco com menos de
kg — cerca de uma em cada
sacos (pois
).
Observação rápida (regra empírica): pela regra
, cerca de
dos valores caem dentro de
; então a probabilidade fora de
é
em duas caudas, daí cada cauda tem
, consistente com o valor exato
.