Uma máquina de ensacar determinado produto apresenta variações de peso (distribuído normalmente) com desvio padrão de 3 kg .
Se a máquina for regulada com um peso médio de 64 kg , qual é a probabilidade de se obter sacos com menos de 55 kg ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está em seguida.
  • A máquina produz pesos com distribuição normal, com desvio padrão \sigma = 3 kg.
  • A máquina está regulada com média (peso médio) \mu = 64 kg.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de obter sacos com menos de 55 kg, ou seja, calcular \Pr(X<55) quando X é o peso do saco.

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (aula curta e prática). Quando uma variável aleatória X tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos isso como X\sim N(\mu,\sigma^2). Para calcular probabilidades do tipo \Pr(X<a) usamos a padronização para transformar X numa normal padrão Z, que tem média 0 e desvio padrão 1.
A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a variável original (peso do saco),
  • \mu é a média (no caso \mu=64),
  • \sigma é o desvio padrão (no caso \sigma=3),
  • Z é a variável normal padrão N(0,1).
A ideia é que \Pr(X<55)=\Pr\!\left(Z<\dfrac{55-\mu}{\sigma}\right). Depois consultamos a tabela da normal padrão (ou usamos propriedades da simetria) para obter o valor numérico.

Passo 3

Aplicando a padronização ao valor 55:
Z=\frac{55-\mu}{\sigma}=\frac{55-64}{3}=\frac{-9}{3}=-3.
Interpretação: 55 kg está 3 desvios padrão abaixo da média ( 3 sigma abaixo).

Passo 4

Agora convertemos a probabilidade:
\Pr(X<55)=\Pr(Z<-3).
Para a normal padrão usamos a função de distribuição acumulada \Phi, onde \Phi(z)=\Pr(Z\le z). Assim \Pr(Z<-3)=\Phi(-3). Usando a simetria da normal e valores tabelados:
\Phi(-3)=1-\Phi(3).
Da tabela da normal padrão sabemos que \Phi(3)\approx 0,99865. Portanto
\Phi(-3)=1-0,99865=0,00135.
Em porcentagem isso é aproximadamente 0,135\%. Intuitivamente: é muito raro obter um saco com menos de 55 kg — cerca de uma em cada 740 sacos (pois 1/0,00135\approx 740).
Observação rápida (regra empírica): pela regra 68\%-95\%-99{,}7\%, cerca de 99{,}7\% dos valores caem dentro de \pm 3\sigma; então a probabilidade fora de \pm 3\sigma é \approx 0{,}3\% em duas caudas, daí cada cauda tem \approx 0{,}15\%, consistente com o valor exato 0{,}135\%.

Resposta

\Pr(X<55)=0,00135

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