Uma máquina perfeita (reversível) com rendimento de 30 \% opera entre dois reservatórios. Operando como máquina, rejeita 140 J de calor. Outra máquina que opera entre os mesmos reservatórios também rejeita 140 J , porém com rendimento maior que a primeira. Mostre que se essas máquinas estão acopladas convenientemente, o enunciado de KelvinPlanck para a segunda lei é violado.

Passo 1

O enunciado nos dá estas informações e pede que mostremos a violação do enunciado de Kelvin–Planck quando as máquinas são acopladas:
  • Uma máquina perfeita (reversível) tem rendimento \eta_1 = 30\%.
  • Essa máquina reversível, operando como motor, rejeita Q_C = 140 J de calor ao reservatório frio.
  • Outra máquina, entre os mesmos reservatórios, também rejeita Q_C = 140 J, mas tem rendimento \eta_2 > \eta_1.
  • Queremos mostrar que, se acopladas convenientemente, o enunciado de Kelvin–Planck da segunda lei (que proíbe a conversão completa de calor retirado de um único reservatório em trabalho sem outros efeitos) é violado.

Passo 2

Definimos rendimento e a conservação de energia para um ciclo:
  • Rendimento de um motor: \eta = \dfrac{W}{Q_H}, onde W é o trabalho produzido em um ciclo e Q_H é o calor absorvido do reservatório quente.
  • Conservação de energia para um ciclo do motor: Q_H = W + Q_C, isto é, o calor absorvido do quente é convertido parcialmente em trabalho e o resto é rejeitado ao frio.
Usando essas fórmulas para a máquina reversível (índice 1):
\eta_1 = \dfrac{W_1}{Q_{H1}} = 0{,}30,
e
Q_{H1} = W_1 + Q_C.
Substituímos Q_C = 140 J.

Passo 3

Resolvendo para Q_{H1} e W_1:
Da relação \eta_1 = 0{,}30 = W_1/Q_{H1} obtemos W_1 = 0{,}30\,Q_{H1}.
Substituindo em Q_{H1} = W_1 + Q_C:
Q_{H1} = 0{,}30\,Q_{H1} + 140.
Isolando Q_{H1}:
Q_{H1} - 0{,}30\,Q_{H1} = 140 \quad\Rightarrow\quad 0{,}70\,Q_{H1} = 140.
Logo
Q_{H1} = \dfrac{140}{0{,}70} = 200\\ \text{J}.
E então
W_1 = 0{,}30\cdot 200 = 60\\ \text{J}.
Resumo (dados da máquina 1, obtidos a partir do enunciado): Q_{H1}=200 J, Q_C=140 J, W_1=60 J.

Passo 4

Agora analiso a máquina 2 (mais eficiente) que rejeita o mesmo Q_C=140 J. Para ela vale Q_{H2} = W_2 + 140 e \eta_2 = W_2/Q_{H2} > 0{,}30.
Escrevo a desigualdade:
\frac{W_2}{Q_{H2}} > 0{,}30 \quad\Rightarrow\quad W_2 > 0{,}30\,Q_{H2}.
Mas W_2 = Q_{H2} - 140. Substituindo:
Q_{H2} - 140 > 0{,}30\,Q_{H2} \quad\Rightarrow\quad 0{,}70\,Q_{H2} > 140.
Portanto
Q_{H2} > \dfrac{140}{0{,}70} = 200\\ \text{J}.
Como W_2 = Q_{H2}-140, segue que
W_2 > 200 - 140 = 60\\ \text{J}.
Conclusão: a máquina 2 absorve mais de 200 J do quente e produz mais de 60 J de trabalho.

Passo 5

Expliquei o princípio de reversibilidade usado no acoplamento:
  • Uma máquina reversível pode operar também no sentido inverso (como bomba de calor / refrigerador): se, no sentido direto, ela produz W_1=60 J enquanto absorve Q_{H1}=200 J e rejeita Q_C=140 J, então no sentido inverso, consumindo 60 J de trabalho ela transferirá 200 J para o reservatório quente e retirará 140 J do reservatório frio. Essa proporcionalidade vem do fato de que as quantidades por ciclo escalam linearmente.

Passo 6

Agora o acoplamento conveniente (estratégia):
  • Faça a máquina 2 (a mais eficiente) operar como motor por um ciclo: ela absorve Q_{H2}>200 J do quente, rejeita 140 J no frio e produz W_2>60 J.
  • Use parte do trabalho produzido por ela, exatamente 60 J, para fazer operar a máquina 1 (reversível) no sentido inverso por um ciclo. Assim a máquina 1, em modo reverso, retira 140 J do frio e transfere 200 J para o quente consumindo 60 J de trabalho.
  • Como consequência:
    • Troca líquida com o reservatório frio: a máquina 2 rejeita 140 J e a máquina 1 (reversa) retira 140 J → cancelam-se → troca líquida com o frio é zero.
    • Troca líquida com o reservatório quente: a máquina 2 retirou Q_{H2} do quente e a máquina 1 (reversa) devolveu 200 J ao quente → troca líquida com o quente é Q_{H2} - 200.
    • Trabalho líquido produzido: a máquina 2 fornece W_2 e gastamos 60 J para a máquina 1 inversa → trabalho útil sobrando W_{\text{líquido}} = W_2 - 60í.
Usando W_2 = Q_{H2} - 140 obtemos
Q_{H2} - 200 = W_2 - 60 = W_{\text{líquido}}.í
Como já mostrámos Q_{H2} > 200, segue que W_{\text{líquido}}>0í. Portanto, o efeito global do conjunto é:
  • Extrair do reservatório quente uma quantidade de calor igual a Q_{H2}-200,
  • Converter essa quantidade totalmente em trabalho W_{\text{líquido}} = Q_{H2}-200í,
  • Não haver qualquer troca líquida com o reservatório frio e nenhum outro efeito externo.

Passo 7

Interpretação final (violação de Kelvin–Planck) e motivo:
  • O enunciado de Kelvin–Planck diz que é impossível construir um dispositivo cíclico cujo único efeito seja retirar calor de um reservatório a temperatura uniforme e convertê-lo integralmente em trabalho.
  • O acoplamento que construímos tem exatamente esse único efeito: calor retirado do único reservatório quente e convertido totalmente em trabalho, sem troca líquida com o frio.
  • Logo, se existisse a máquina 2 com rendimento maior do que a máquina reversível dada (ambas operando entre os mesmos reservatórios e rejeitando o mesmo Q_C), poderíamos construir um dispositivo que viola Kelvin–Planck. Portanto tal situação é impossível segundo a segunda lei — ou seja, a hipótese inicial (existência da máquina 2 com \eta_2>\eta_1 e mesmo Q_C) leva à contradição.

Resposta

Acoplando a máquina mais eficiente como motor e fazendo a máquina reversível operar em sentido inverso consumindo 60 J, obtém‑se troca líquida nula com o reservatório frio e extração de Q_{H2}-200 J do reservatório quente convertida totalmente em trabalho W_{\text{líquido}}=Q_{H2}-200>0í, o que viola o enunciado de Kelvin–Planck.

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