Uma máquina perfeita (reversível) com rendimento de
opera entre dois reservatórios. Operando como máquina, rejeita 140 J de calor. Outra máquina que opera entre os mesmos reservatórios também rejeita 140 J , porém com rendimento maior que a primeira. Mostre que se essas máquinas estão acopladas convenientemente, o enunciado de KelvinPlanck para a segunda lei é violado.
Passo 1
O enunciado nos dá estas informações e pede que mostremos a violação do enunciado de Kelvin–Planck quando as máquinas são acopladas:
- Uma máquina perfeita (reversível) tem rendimento
. - Essa máquina reversível, operando como motor, rejeita
J de calor ao reservatório frio. - Outra máquina, entre os mesmos reservatórios, também rejeita
J, mas tem rendimento . - Queremos mostrar que, se acopladas convenientemente, o enunciado de Kelvin–Planck da segunda lei (que proíbe a conversão completa de calor retirado de um único reservatório em trabalho sem outros efeitos) é violado.
Passo 2
Definimos rendimento e a conservação de energia para um ciclo:
- Rendimento de um motor:
, onde é o trabalho produzido em um ciclo e é o calor absorvido do reservatório quente. - Conservação de energia para um ciclo do motor:
, isto é, o calor absorvido do quente é convertido parcialmente em trabalho e o resto é rejeitado ao frio.
Usando essas fórmulas para a máquina reversível (índice
):
e
Substituímos
J.
Passo 3
Resolvendo para
e
:
Da relação obtemos
.
Substituindo em :
Da relação
Substituindo em
Isolando
:
Logo
E então
Resumo (dados da máquina 1, obtidos a partir do enunciado):
J,
J,
J.
Passo 4
Agora analiso a máquina 2 (mais eficiente) que rejeita o mesmo
J. Para ela vale
e
.
Escrevo a desigualdade:
Escrevo a desigualdade:
Mas
. Substituindo:
Portanto
Como
, segue que
Conclusão: a máquina 2 absorve mais de
J do quente e produz mais de
J de trabalho.
Passo 5
Expliquei o princípio de reversibilidade usado no acoplamento:
- Uma máquina reversível pode operar também no sentido inverso (como bomba de calor / refrigerador): se, no sentido direto, ela produz
J enquanto absorve J e rejeita J, então no sentido inverso, consumindo J de trabalho ela transferirá J para o reservatório quente e retirará J do reservatório frio. Essa proporcionalidade vem do fato de que as quantidades por ciclo escalam linearmente.
Passo 6
Agora o acoplamento conveniente (estratégia):
- Faça a máquina 2 (a mais eficiente) operar como motor por um ciclo: ela absorve
J do quente, rejeita J no frio e produz J. - Use parte do trabalho produzido por ela, exatamente
J, para fazer operar a máquina 1 (reversível) no sentido inverso por um ciclo. Assim a máquina 1, em modo reverso, retira J do frio e transfere J para o quente consumindo J de trabalho. - Como consequência:
- Troca líquida com o reservatório frio: a máquina 2 rejeita
J e a máquina 1 (reversa) retira J → cancelam-se → troca líquida com o frio é zero. - Troca líquida com o reservatório quente: a máquina 2 retirou
do quente e a máquina 1 (reversa) devolveu J ao quente → troca líquida com o quente é . - Trabalho líquido produzido: a máquina 2 fornece
e gastamos J para a máquina 1 inversa → trabalho útil sobrando .
- Troca líquida com o reservatório frio: a máquina 2 rejeita
Usando
obtemos
Como já mostrámos
, segue que
. Portanto, o efeito global do conjunto é:
- Extrair do reservatório quente uma quantidade de calor igual a
, - Converter essa quantidade totalmente em trabalho
, - Não haver qualquer troca líquida com o reservatório frio e nenhum outro efeito externo.
Passo 7
Interpretação final (violação de Kelvin–Planck) e motivo:
- O enunciado de Kelvin–Planck diz que é impossível construir um dispositivo cíclico cujo único efeito seja retirar calor de um reservatório a temperatura uniforme e convertê-lo integralmente em trabalho.
- O acoplamento que construímos tem exatamente esse único efeito: calor retirado do único reservatório quente e convertido totalmente em trabalho, sem troca líquida com o frio.
- Logo, se existisse a máquina 2 com rendimento maior do que a máquina reversível dada (ambas operando entre os mesmos reservatórios e rejeitando o mesmo
), poderíamos construir um dispositivo que viola Kelvin–Planck. Portanto tal situação é impossível segundo a segunda lei — ou seja, a hipótese inicial (existência da máquina 2 com e mesmo ) leva à contradição.
Resposta
Acoplando a máquina mais eficiente como motor e fazendo a máquina reversível operar em sentido inverso consumindo
J, obtém‑se troca líquida nula com o reservatório frio e extração de
J do reservatório quente convertida totalmente em trabalho
, o que viola o enunciado de Kelvin–Planck.