Uma máquina produz 10 \% de seus parafusos de porca com defeito. Encontre, utilizando a aproximação normal, a probabilidade de uma amostra aleatória de 400 parafusos de porca produzidos por esta máquina apresentar:
Entre 30 e 50 com defeito;

Passo 1

Resumindo o enunciado: seja X o número de parafusos defeituosos numa amostra de n=400 produzidos por uma máquina com probabilidade de defeito p=0,1. Queremos aproximar
\Pr(30 \le X \le 50)
pela distribuição normal.

Passo 2

A binomial X\sim\mathrm{Bin}(n,p) tem média e variância dadas por
\mu = np = 400 \cdot 0,1 = 40, \qquad \sigma^2 = np(1-p) = 400 \cdot 0,1 \cdot 0,9 = 36,
logo o desvio padrão é
\sigma = \sqrt{36} = 6.

Passo 3

Usamos correção de continuidade, passando do intervalo inteiro [30,50] para (29,5,50,5). Assim,
\Pr(30 \le X \le 50) \approx \Pr(29,5 < X < 50,5).

Passo 4

Padronizando em Z\sim N(0,1), calculamos
z_1 = \frac{29,5 - 40}{6} = -1,75, \qquad z_2 = \frac{50,5 - 40}{6} = 1,75.
Portanto,
\Pr(29,5 < X < 50,5) = \Pr(-1,75 < Z < 1,75) = \Phi(1,75) - \Phi(-1,75) = 2\,\Phi(1,75) - 1.

Passo 5

Da tabela da normal padrão, \Phi(1,75)\approx0,9599. Logo
\Pr(30 \le X \le 50) \approx 2\cdot0,9599 - 1 = 0,9198.

Resposta

A probabilidade aproximada é cerca de 0,9198 (ou 91,98\%).

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