Uma máquina produz 10 \% de seus parafusos de porca com defeito. Encontre, utilizando a aproximação normal, a probabilidade de uma amostra aleatória de 400 parafusos de porca produzidos por esta máquina apresentar:
65 ou mais de parafusos com defeito.

Passo 1

O enunciado descreve uma variável aleatória X que conta o número de parafusos com defeito numa amostra de tamanho n=400, com probabilidade de defeito p=0,10. Assim, X\sim \mathrm{Bin}(400,0,10) e queremos aproximar
P(X\ge 65)
pelo método da aproximação normal.

Passo 2

Para usar a aproximação normal, substituímos X por uma variável contínua Y\sim N(\mu,\sigma^2) com
\mu = n\,p = 400 \times 0,10 = 40,
\sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)} = \sqrt{400 \times 0,10 \times 0,90} = \sqrt{36} = 6.

Passo 3

Aplicamos correção de continuidade para P(X\ge 65). No caso de ‘‘maior ou igual’’, usamos o ponto crítico 64,5. Logo,
P(X\ge 65) \approx P\bigl(Y\ge 64,5\bigr).

Passo 4

Padronizamos:
Z = \frac{Y - \mu}{\sigma} \quad\Longrightarrow\quad P\bigl(Y\ge 64,5\bigr) = P\Bigl(Z \ge \frac{64,5 - 40}{6}\Bigr).
Calculando o valor de z:
z = \frac{64,5 - 40}{6} = \frac{24,5}{6} \approx 4,0833.

Passo 5

Chamando \Phi(z) a função de distribuição acumulada da normal padrão, temos
P(Z \ge 4,0833) = 1 - \Phi(4,0833).
Consultando tabela ou software, \Phi(4,08)\approx 0,99998. Portanto,
1 - \Phi(4,0833)\approx 0,00002.

Resposta

A probabilidade aproximada é 0,00002 (ou 2\times 10^{-5}).

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