Uma máquina produz 10 \% de seus parafusos de porca com defeito. Encontre, utilizando a aproximação normal, a probabilidade de uma amostra aleatória de 400 parafusos de porca produzidos por esta máquina apresentar:
Entre 35 e 45 com defeito;

Passo 1

O enunciado diz que uma máquina produz uma fração p=0{,}10 de parafusos com defeito e que vamos tirar uma amostra de tamanho n=400. Precisamos calcular
P\bigl(35 \le X \le 45\bigr),
onde X segue a distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p). Como n é grande, vamos usar a aproximação normal.

Passo 2

Calculamos primeiro a média \mu e o desvio-padrão \sigma da binomial:
\mu = np = 400 \times 0{,}10 = 40,
\sigma^2 = np(1-p) = 400 \times 0{,}10 \times 0{,}90 = 36,
\sigma = \sqrt{36} = 6.

Passo 3

Aplicamos correção de continuidade para aproximar
P(35 \le X \le 45) \approx P\bigl(34{,}5 < X < 45{,}5\bigr).
Padronizando X para uma normal padrão Z\sim N(0,1), temos
Z_1 = \frac{34{,}5 - 40}{6} = -0{,}9167, \qquad Z_2 = \frac{45{,}5 - 40}{6} = 0{,}9167.

Passo 4

Usando a tabela da normal padrão,
\Phi(0{,}9167)\approx 0{,}8207, \quad \Phi(-0{,}9167)=1-\Phi(0{,}9167)\approx 0{,}1793.
Logo,
P(35 \le X \le 45) \approx \Phi(0{,}9167) - \Phi(-0{,}9167) = 0{,}8207 - 0{,}1793 = 0{,}6414.

Resposta

A probabilidade aproximada é 0{,}64 (ou 64\%).

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