Uma máquina produz parafusos com média igual a 2 cm e desvio padrão 0,04 \mathrm{~cm}. Qual é a probabilidade de que um parafuso tenha diâmetro entre 1,8 e 2,3 \mathrm{~cm}. (esboce o gráfico da distribuição normal)

Passo 1

O enunciado nos informa que o diâmetro X dos parafusos segue uma distribuição normal com média \mu=2{,}0,cm e desvio padrão \sigma=0{,}04,cm. Precisamos calcular
P\bigl(1{,}8 \le X \le 2{,}3\bigr).

Passo 2

Para usar a tabela da normal padrão, padronizamos X definindo
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.
Assim, os limites se tornam
z_1 = \frac{1{,}8 - 2{,}0}{0{,}04} = -5, \qquad z_2 = \frac{2{,}3 - 2{,}0}{0{,}04} = 7{,}5.

Passo 3

A probabilidade desejada é
P\bigl(1{,}8 \le X \le 2{,}3\bigr) = P\bigl(-5 \le Z \le 7{,}5\bigr) = \Phi(7{,}5) - \Phi(-5).
Nas tabelas da normal padrão temos \Phi(7{,}5)\approx1 e \Phi(-5)\approx2{,}87\times10^{-7}. Logo
P = 1 - 2{,}87\times10^{-7} \approx 0{,}999999713.

Passo 4

Esboço do gráfico: desenhe a curva da densidade normal centrada em 2{,}0,cm com desvio 0{,}04,cm, marque na base os pontos 1{,}8 e 2{,}3 e sombreie a região entre eles, que corresponde à probabilidade calculada.

Resposta

A probabilidade de o diâmetro estar entre 1{,}8,cm e 2{,}3,cm é aproximadamente
0{,}9999997 \quad(\text{ou }99{,}99997\%).

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