Uma máquina produz peças circulares cujos diâmetros devem obedecer a uma determinada especificação em mm. Sabe-se que o desvio padrão destas peças é conhecido e igual a sigma=10 mm. Tomou-se uma amostra de 50 destas peças e observou-se que a média amostral dos diâmetros desta amostra foi 80 mm . Obtenha o intervalo de 90 % de confiança para o diâmetro médio das peças.

Passo 1

Beleza, tá rolando um exercício de Estatística inferencial sobre intervalo de confiança para a média de uma população quando o desvio padrão é conhecido. O enunciado diz que uma máquina faz peças circulares com desvio padrão σ = 10 mm (já fixo), você pegou uma amostra de tamanho n = 50 e a média amostral deu x¯ = 80 mm. O objetivo é achar o intervalo de confiança de 90 % para a média real desses diâmetros.
Conteúdo: intervalo de confiança da média com σ conhecido.
O que a gente vai precisar:
  • O valor crítico z para 90 %.
  • A fórmula do intervalo:
x¯ pm zalpha/2,sigmaraizn

Passo 2

Primeiro, lembra que um intervalo de confiança de nível 1–α cobre a média real com probabilidade “aproximada” de 1–α. Aqui α = 0,10, então 1–α = 0,90 (90 %).
Como σ é conhecido, usamos a distribuição normal padrão (z). O ponto crítico é z_{α/2}, onde α/2 = 0,05.

Passo 3

Agora, vamos achar z_{α/2}=z_{0,05}. É o valor de z tal que a área à direita dele numa N(0,1) é 0,05. Na tabela de normal, isso dá:
z0,05 approx 1,645

Passo 4

Montamos a fórmula do intervalo:
x¯ pm zα/2,sigmaraizn = 80 pm 1,645 times 10raiz50
Explicando:
  • x¯ é a média amostral.
  • σ/√n é o erro padrão da média.
  • z_{α/2} multiplica esse erro pra dar a “margem de incerteza”.
Calculemos o erro padrão:
10raiz50 = 107,071 approx 1,414
Então a margem de erro é
1,645 times 1,414 approx 2,327

Passo 5

Por fim, o intervalo:
80 - 2,327 = 77,673, 80 + 2,327 = 82,327

Resposta

O intervalo de confiança de 90 % para o diâmetro médio é aproximadamente
(77,67 mm; 82,33 mm).

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