Uma máquina produz peças circulares cujos diâmetros devem obedecer a uma determinada especificação em mm. Sabe-se que o desvio padrão destas peças é conhecido e igual a
. Tomou-se uma amostra de 50 destas peças e observou-se que a média amostral dos diâmetros desta amostra foi 80 mm . Obtenha o intervalo de
de confiança para o diâmetro médio das peças.
Passo 1
Beleza, tá rolando um exercício de Estatística inferencial sobre intervalo de confiança para a média de uma população quando o desvio padrão é conhecido. O enunciado diz que uma máquina faz peças circulares com desvio padrão σ = 10 mm (já fixo), você pegou uma amostra de tamanho n = 50 e a média amostral deu x¯ = 80 mm. O objetivo é achar o intervalo de confiança de 90 % para a média real desses diâmetros.
Conteúdo: intervalo de confiança da média com σ conhecido.
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: intervalo de confiança da média com σ conhecido.
O que a gente vai precisar:
- O valor crítico z para 90 %.
- A fórmula do intervalo:
Passo 2
Primeiro, lembra que um intervalo de confiança de nível 1–α cobre a média real com probabilidade “aproximada” de 1–α. Aqui α = 0,10, então 1–α = 0,90 (90 %).
Como σ é conhecido, usamos a distribuição normal padrão (z). O ponto crítico é z_{α/2}, onde α/2 = 0,05.
Passo 3
Agora, vamos achar z_{α/2}=z_{0,05}. É o valor de z tal que a área à direita dele numa N(0,1) é 0,05. Na tabela de normal, isso dá:
Passo 4
Montamos a fórmula do intervalo:
Explicando:
- x¯ é a média amostral.
- σ/√n é o erro padrão da média.
- z_{α/2} multiplica esse erro pra dar a “margem de incerteza”.
Calculemos o erro padrão:
Então a margem de erro é
Passo 5
Por fim, o intervalo:
Resposta
O intervalo de confiança de 90 % para o diâmetro médio é aproximadamente
(77,67 mm; 82,33 mm).
(77,67 mm; 82,33 mm).