Uma máquina está programada para encher garrafas de refrigerante com uma média de 900 ml . O gerente da fábrica assegura que a quantidade de refrigerante colocada nas garrafas é uma variável que está distribuída normalmente em torno da média de 900 ml e com desvio padrão igual a 8 ml . Com base nessas informações do gerente deseja-se saber:
a) qual é o percentual de garrafas que contêm menos de 888 ml ?
b) Qual é a probabilidade de encontrarmos garrafas com menos de 880 ml ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • A máquina enche garrafas com média \mu = 900 ml.
  • O desvio padrão é \sigma = 8 ml.
  • Assume-se que a quantidade é distribuída normalmente.
O enunciado pede:
a) O percentual de garrafas com menos de 888 ml.
b) A probabilidade de encontrarmos garrafas com menos de 880 ml.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo):
  • A distribuição normal é uma distribuição contínua de probabilidades em forma de “sino”, totalmente caracterizada pela média \mu e pelo desvio padrão \sigma. A probabilidade de a variável aleatória X assumir valores abaixo de certo ponto x é dada pela função de distribuição acumulada P(X \le x).
  • Para relacionar qualquer normal com média \mu e desvio padrão \sigma a uma tabela padrão, usamos a padronização (transformar em variáveis com média zero e desvio padrão 1). A fórmula do escore-z é:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é o valor da variável (por exemplo 888 ou 880);
  • \mu é a média ( 900 ml aqui);
  • \sigma é o desvio padrão ( 8 ml aqui);
  • Z é a variável padronizada (distribuição normal padrão com média 0 e desvio 1).
  • Depois de calcular Z, usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para obter \Phi(z)=P(Z\le z). Pela simetria da normal, \Phi(-a)=1-\Phi(a).

Passo 3

Resolver a pergunta (a). Primeiro padronizar X=888:
Z = \frac{888-900}{8} = \frac{-12}{8} = -1{,}5.
Isso significa que 888 ml está 1{,}5 desvios-padrão abaixo da média.

Passo 4

Calcular a probabilidade usando a normal padrão:
P(X<888)=P\!\left(Z<-1{,}5\right)=\Phi(-1{,}5).
Usando a simetria e uma tabela/ calculadora:
\Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5).
Da tabela da normal padrão (ou calculadora) temos \Phi(1{,}5)=0{,}9332. Logo
\Phi(-1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668.
Convertendo para percentual:
0{,}0668 = 6{,}68\%.
Interpretação rápida: cerca de 6{,}68\% das garrafas têm menos de 888 ml.

Passo 5

Resolver a pergunta (b). Primeiro padronizar X=880:
Z = \frac{880-900}{8} = \frac{-20}{8} = -2{,}5.
Isso significa que 880 ml está 2{,}5 desvios-padrão abaixo da média.

Passo 6

Calcular a probabilidade usando a normal padrão:
P(X<880)=P\!\left(Z<-2{,}5\right)=\Phi(-2{,}5).
Pela simetria:
\Phi(-2{,}5)=1-\Phi(2{,}5).
Da tabela ou calculadora \Phi(2{,}5)=0{,}9938. Logo
\Phi(-2{,}5)=1-0{,}9938=0{,}0062.
Convertendo para percentual:
0{,}0062 = 0{,}62\%.
Interpretação rápida: é muito raro achar uma garrafa com menos de 880 ml — cerca de 0{,}62\%.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (resumindo o procedimento que deve fazer na hora):
  • Calcule o z com \displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
  • Use tabela da normal padrão ou calculadora para obter \Phi(z).
  • Se z for negativo, use a simetria \Phi(-a)=1-\Phi(a) ou leia diretamente a tabela para valores negativos.
  • Converta para percentual multiplicando por 100.

Resposta

a) 6{,}68\% \;(\,0{,}0668\,)
b) 0{,}62\% \;(\,0{,}0062\,)

Exercícios relacionados