Uma máquina está programada para encher garrafas de refrigerante com uma média de 900 ml . O gerente da fábrica assegura que a quantidade de refrigerante colocada nas garrafas é uma variável que está distribuída normalmente em torno da média de 900 ml e com desvio padrão igual a 8 ml . Com base nessas informações do gerente deseja-se saber:
a) qual é o percentual de garrafas que contêm menos de 888 ml ?
b) Qual é a probabilidade de encontrarmos garrafas com menos de 880 ml ?
a) qual é o percentual de garrafas que contêm menos de 888 ml ?
b) Qual é a probabilidade de encontrarmos garrafas com menos de 880 ml ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
- A máquina enche garrafas com média
ml. - O desvio padrão é
ml. - Assume-se que a quantidade é distribuída normalmente.
O enunciado pede:
a) O percentual de garrafas com menos de ml.
b) A probabilidade de encontrarmos garrafas com menos de ml.
a) O percentual de garrafas com menos de
b) A probabilidade de encontrarmos garrafas com menos de
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo):
- A distribuição normal é uma distribuição contínua de probabilidades em forma de “sino”, totalmente caracterizada pela média
e pelo desvio padrão . A probabilidade de a variável aleatória assumir valores abaixo de certo ponto é dada pela função de distribuição acumulada . - Para relacionar qualquer normal com média
e desvio padrão a uma tabela padrão, usamos a padronização (transformar em variáveis com média zero e desvio padrão 1). A fórmula do escore-z é:
onde:
-
é o valor da variável (por exemplo ou ); -
é a média ( ml aqui); -
é o desvio padrão ( ml aqui); -
é a variável padronizada (distribuição normal padrão com média e desvio ). - Depois de calcular
, usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para obter . Pela simetria da normal, .
Passo 3
Resolver a pergunta (a). Primeiro padronizar
:
Isso significa que
ml está
desvios-padrão abaixo da média.
Passo 4
Calcular a probabilidade usando a normal padrão:
Usando a simetria e uma tabela/ calculadora:
Da tabela da normal padrão (ou calculadora) temos
. Logo
Convertendo para percentual:
Interpretação rápida: cerca de
das garrafas têm menos de
ml.
Passo 5
Resolver a pergunta (b). Primeiro padronizar
:
Isso significa que
ml está
desvios-padrão abaixo da média.
Passo 6
Calcular a probabilidade usando a normal padrão:
Pela simetria:
Da tabela ou calculadora
. Logo
Convertendo para percentual:
Interpretação rápida: é muito raro achar uma garrafa com menos de
ml — cerca de
.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (resumindo o procedimento que deve fazer na hora):
- Calcule o
com . - Use tabela da normal padrão ou calculadora para obter
. - Se
for negativo, use a simetria ou leia diretamente a tabela para valores negativos. - Converta para percentual multiplicando por
.
Resposta
a)
b)
b)