Numa máquina térmica o agente é um gás ideal de coeficiente adiabático
. O gás sofre uma expansão adiabática na qual seu volume cresce
vezes, seguida de uma compressão isotérmica até seu volume inicial. Para fechar o ciclo, sua pressão é aumentada a volume constante. Expresse o rendimento em função da razão entre as temperaturas extremas,
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma máquina térmica onde o gás ideal passa por três processos: uma expansão adiabática, uma compressão isotérmica e um aumento de pressão a volume constante. O objetivo é achar o rendimento dessa máquina em função da razão das temperaturas extremas, $ \frac{T_2}{T_1} $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como processos adiabáticos e isotérmicos, além de entender como calcular trabalho e calor nesses processos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o processo adiabático de expansão. Nesse processo, o gás se expande sem troca de calor com o ambiente. A relação entre pressão e volume para um processo adiabático é dada por:
onde $ \gamma $ é o coeficiente adiabático. Sabemos que o volume aumenta $ r $ vezes, então:
E como não há troca de calor, o trabalho realizado pelo gás na expansão é:
Passo 3
Depois da expansão adiabática, o gás passa por uma compressão isotérmica até retornar ao volume inicial $ V_1
T_2 $), e a relação entre pressão e volume é dada por:
O trabalho realizado na compressão isotérmica é:
Aqui, $ n $ é o número de mols e $ R $ é a constante dos gases.
Passo 4
Para fechar o ciclo, temos um aumento de pressão a volume constante. Nesse processo, como o volume não muda, não há trabalho realizado ($ W = 0 $), mas há uma troca de calor para aumentar a pressão. A variação de energia interna nesse processo é igual ao calor fornecido:
onde $ C_V $ é a capacidade calorífica a volume constante.
Passo 5
Agora, vamos calcular o rendimento ($ \eta $) da máquina térmica. O rendimento é definido como a razão entre o trabalho líquido realizado pela máquina e o calor absorvido durante o ciclo:
O trabalho líquido $ W_{líquido} $ é a soma dos trabalhos dos três processos:
Já o calor absorvido $ Q_{in} $ ocorre no processo isotérmico:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula do rendimento:
Considerando as relações termodinâmicas e simplificando, chegamos à expressão do rendimento em função das temperaturas extremas:
Resposta
O rendimento da máquina térmica é dado por $ \eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} $.