Numa máquina térmica o agente é um gás ideal de coeficiente adiabático gamma. O gás sofre uma expansão adiabática na qual seu volume cresce r vezes, seguida de uma compressão isotérmica até seu volume inicial. Para fechar o ciclo, sua pressão é aumentada a volume constante. Expresse o rendimento em função da razão entre as temperaturas extremas, T2 / T1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma máquina térmica onde o gás ideal passa por três processos: uma expansão adiabática, uma compressão isotérmica e um aumento de pressão a volume constante. O objetivo é achar o rendimento dessa máquina em função da razão das temperaturas extremas, $ \frac{T_2}{T_1} $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como processos adiabáticos e isotérmicos, além de entender como calcular trabalho e calor nesses processos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o processo adiabático de expansão. Nesse processo, o gás se expande sem troca de calor com o ambiente. A relação entre pressão e volume para um processo adiabático é dada por:
P V^gamma = constante
onde $ \gamma $ é o coeficiente adiabático. Sabemos que o volume aumenta $ r $ vezes, então:
gamma
E como não há troca de calor, o trabalho realizado pelo gás na expansão é:
r á

Passo 3

Depois da expansão adiabática, o gás passa por uma compressão isotérmica até retornar ao volume inicial $ V_1 V1 é T_2 $), e a relação entre pressão e volume é dada por:
T2
O trabalho realizado na compressão isotérmica é:
P V = constante é
Aqui, $ n $ é o número de mols e $ R $ é a constante dos gases.

Passo 4

Para fechar o ciclo, temos um aumento de pressão a volume constante. Nesse processo, como o volume não muda, não há trabalho realizado ($ W = 0 $), mas há uma troca de calor para aumentar a pressão. A variação de energia interna nesse processo é igual ao calor fornecido:
W = 0
onde $ C_V $ é a capacidade calorífica a volume constante.

Passo 5

Agora, vamos calcular o rendimento ($ \eta $) da máquina térmica. O rendimento é definido como a razão entre o trabalho líquido realizado pela máquina e o calor absorvido durante o ciclo:
eta í
O trabalho líquido $ W_{líquido} $ é a soma dos trabalhos dos três processos:
eta = WlíquidoQin íáéóáé
Já o calor absorvido $ Q_{in} $ ocorre no processo isotérmico:
Wlíquido é

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do rendimento:
eta = Wadiabático + WisotérmiconRT2 ln(r) áé
Considerando as relações termodinâmicas e simplificando, chegamos à expressão do rendimento em função das temperaturas extremas:
eta = 1 - T2T1

Resposta

O rendimento da máquina térmica é dado por $ \eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} $.

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