(a) Mostre que a taxa
com a qual a energia cinética é transportada por uma onda numa corda esticada é dado por
. (b) Mostre que a taxa com a qual a energia potencial elástica é transportada pela onda é dado por
. © Usando o teorema do valor médio, mostre que a potência média transportada pela onda é dado por:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma onda em uma corda esticada e queremos descobrir como a energia cinética e a energia potencial elástica são transportadas por essa onda ao longo do tempo. Além disso, vamos calcular a potência média transportada pela onda usando o teorema do valor médio. Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial, e um pouquinho de cálculo com ondas senoidais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a energia cinética transportada pela onda. A energia cinética (
) por unidade de massa em movimento é dada pela fórmula:
Mas como estamos lidando com uma corda com densidade linear (
) e uma velocidade de propagação (
) da onda, precisamos adaptar essa fórmula. A energia cinética por unidade de comprimento da corda será:
Aqui,
é a amplitude da onda, que varia ao longo do tempo e do espaço.
Passo 3
Agora, para encontrar a taxa com que a energia cinética é transportada pela onda, ou seja,
, precisamos derivar a expressão da energia cinética em relação ao tempo. Considerando que a amplitude
é uma função do tempo e da posição, podemos escrevê-la como:
Onde
é a amplitude máxima,
é o número de onda e
é a frequência angular.
Derivando
em relação ao tempo:
Passo 4
Agora, vamos olhar para a energia potencial elástica (
) armazenada na corda. A energia potencial de uma mola (ou em nosso caso, de pequenas porções da corda) é dada por:
Adaptando para a corda, onde a constante elástica depende da densidade linear
e da frequência da onda, podemos escrever:
Passo 5
Semelhante ao que fizemos para a energia cinética, vamos encontrar a taxa de variação da energia potencial em relação ao tempo, ou seja,
. Usando a mesma expressão para
:
Passo 6
Agora, para encontrar a potência média transportada pela onda, usamos o teorema do valor médio, que nos diz que o valor médio de
ou
ao longo de um período completo é
. Aplicando isso às expressões que encontramos para
e
, temos:
Resposta
A potência média transportada pela onda é dada por: