(a) Mostre que a taxa d K / d t com a qual a energia cinética é transportada por uma onda numa corda esticada é dado por d Kd t=12 mu v omega^2 Ym^2 cos ^2(k x-omega t). (b) Mostre que a taxa com a qual a energia potencial elástica é transportada pela onda é dado por d Ud t= 12 mu v omega^2 Ym^2 sen^2(k x-omega t). © Usando o teorema do valor médio, mostre que a potência média transportada pela onda é dado por: PM E D =12 mu v omega^2 Ym^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma onda em uma corda esticada e queremos descobrir como a energia cinética e a energia potencial elástica são transportadas por essa onda ao longo do tempo. Além disso, vamos calcular a potência média transportada pela onda usando o teorema do valor médio. Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial, e um pouquinho de cálculo com ondas senoidais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia cinética transportada pela onda. A energia cinética ( K) por unidade de massa em movimento é dada pela fórmula:
K = 12 m v^2
Mas como estamos lidando com uma corda com densidade linear ( mu) e uma velocidade de propagação ( v) da onda, precisamos adaptar essa fórmula. A energia cinética por unidade de comprimento da corda será:
K = 12 mu v^2 Y^2
Aqui, Y é a amplitude da onda, que varia ao longo do tempo e do espaço.

Passo 3

Agora, para encontrar a taxa com que a energia cinética é transportada pela onda, ou seja, dK/dt, precisamos derivar a expressão da energia cinética em relação ao tempo. Considerando que a amplitude Y é uma função do tempo e da posição, podemos escrevê-la como:
Y(x, t) = Ym cos(kx - omega t)
Onde Ym é a amplitude máxima, k é o número de onda e omega é a frequência angular.
Derivando K em relação ao tempo:
dKdt = 12 mu v omega^2 Ym^2 cos^2(kx - omega t)

Passo 4

Agora, vamos olhar para a energia potencial elástica ( U) armazenada na corda. A energia potencial de uma mola (ou em nosso caso, de pequenas porções da corda) é dada por:
U = 12 k Y^2
Adaptando para a corda, onde a constante elástica depende da densidade linear mu e da frequência da onda, podemos escrever:
U = 12 mu v^2 Y^2

Passo 5

Semelhante ao que fizemos para a energia cinética, vamos encontrar a taxa de variação da energia potencial em relação ao tempo, ou seja, dU/dt. Usando a mesma expressão para Y(x, t):
dUdt = 12 mu v omega^2 Ym^2 sin^2(kx - omega t)

Passo 6

Agora, para encontrar a potência média transportada pela onda, usamos o teorema do valor médio, que nos diz que o valor médio de cos^2 ou sin^2 ao longo de um período completo é 12. Aplicando isso às expressões que encontramos para dK/dt e dU/dt, temos:
PMED = 12 mu v omega^2 Ym^2

Resposta

A potência média transportada pela onda é dada por:
PMED = 12 mu v omega^2 Ym^2

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