Um sistema composto isolado é formado por três subsistemas idênticos, cujas capacidades térmicas são constantes e iguais a C. Inicialmente, eles são separados por paredes adiabáticas, rígidas e impermeáveis, e suas temperaturas são T_{0}, 2 T_{0} e 3 T_{0}. As paredes se tornam diatérmicas (permitem troca de calor) e o sistema evolue para um novo estado de equilíbrio, no qual os três subsistemas têm a mesma temperatura T_{f}.
(a) Determine a temperatura final de equilíbrio T_{f}.
(b) Determine as variações de entropia de cada subsistema e do sistema composto. Discuta o sinal de cada uma delas.

Passo 1

O enunciado e o que se pede (peguei todas as informações do enunciado):
  • Três subsistemas idênticos, capacidades térmicas constantes e iguais a C.
  • Temperaturas iniciais: T_1^{\mathrm{(i)}} = T_{0}, T_2^{\mathrm{(i)}} = 2T_{0}, T_3^{\mathrm{(i)}} = 3T_{0}.
  • O conjunto é isolado (energia total conservada). Inicialmente as paredes são adiabáticas; depois tornam-se diatérmicas e o sistema atinge equilíbrio térmico com temperatura comum T_{f}.
    O enunciado pede:
    (a) Determinar T_{f}.
    (b) Determinar as variações de entropia de cada subsistema e a variação total de entropia do sistema composto, e discutir o sinal de cada uma.

Passo 2

Conservação de energia (primeira lei) para o sistema isolado: a energia interna total inicial deve ser igual à energia interna total final. Para capacidades térmicas constantes a variação de energia interna de cada subsistema é C vezes a variação de temperatura. Como só interessa a soma das energias, podemos escrever diretamente as energias (proporcionais às temperaturas):
\text{Energia total inicial} = C\bigl(T_{0}+2T_{0}+3T_{0}\bigr)=6C T_{0}.
\text{Energia total final} = 3C\,T_{f},
pois os três subsistemas ficam à mesma temperatura T_{f}. Igualando:
3C\,T_{f}=6C T_{0}.
Dividindo por 3C (assumindo C\neq0):
T_{f}=2T_{0}.
Comentário rápido: quando as capacidades são iguais e constantes, a temperatura final é simplesmente a média aritmética das temperaturas iniciais ponderada por C; aqui dá 2T_{0}.

Passo 3

Fórmula para variação de entropia de cada subsistema e justificativa:
  • Definição termodinâmica da entropia: a variação de entropia entre dois estados é
\Delta S=\int_{\text{rev}}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde a integral é tomada ao longo de um processo reversível entre os mesmos estados. Importante: entropia é uma função de estado, então pode-se calcular \Delta S usando qualquer caminho reversível que ligue o estado inicial ao final — mesmo que o processo real seja irreversível.
  • Para um sistema com capacidade térmica constante C, a quantidade de calor trocada em um processo reversível infinitesimal é \delta Q_{\text{rev}}=C\,dT. Logo:
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f}\frac{C\,dT}{T}=C\int_{T_i}^{T_f}\frac{dT}{T}=C\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Aqui T_i é a temperatura inicial do subsistema e T_f a final.

Passo 4

Aplicar a fórmula a cada subsistema usando T_{f}=2T_{0} obtido no Passo 2.
Subsistema 1 (inicial T_1^{\mathrm{(i)}}=T_{0}):
\Delta S_{1}=C\ln\!\left(\frac{T_{f}}{T_{0}}\right)=C\ln\!\left(\frac{2T_{0}}{T_{0}}\right)=C\ln 2.
Interpretação física: \Delta S_{1}>0, pois esse subsistema absorveu calor para subir de T_{0} para 2T_{0}.
Subsistema 2 (inicial T_2^{\mathrm{(i)}}=2T_{0}):
\Delta S_{2}=C\ln\!\left(\frac{T_{f}}{2T_{0}}\right)=C\ln\!\left(\frac{2T_{0}}{2T_{0}}\right)=C\ln 1=0.
Interpretação: esse subsistema já estava exatamente na temperatura final, logo não houve troca líquida de calor e sua entropia não mudou.
Subsistema 3 (inicial T_3^{\mathrm{(i)}}=3T_{0}):
\Delta S_{3}=C\ln\!\left(\frac{T_{f}}{3T_{0}}\right)=C\ln\!\left(\frac{2T_{0}}{3T_{0}}\right)=C\ln\!\left(\frac{2}{3}\right).
Observação: \ln(2/3)<0, portanto \Delta S_{3}<0. Esse subsistema perdeu calor ao resfriar de 3T_{0} para 2T_{0}, reduzindo sua entropia.

Passo 5

Variação total de entropia do sistema composto (soma das variações das partes):
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}+\Delta S_{3}=C\ln 2 + 0 + C\ln\!\left(\frac{2}{3}\right).
Usando propriedades dos logaritmos:
\Delta S_{\text{total}}=C\left(\ln 2 + \ln\!\left(\frac{2}{3}\right)\right)=C\ln\!\left(\frac{2\cdot 2}{3}\right)=C\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).
Como \frac{4}{3}>1, temos \Delta S_{\text{total}}>0. Isso confirma a segunda lei para processos espontâneos em sistemas isolados: a entropia do conjunto isolado aumenta. A quantidade \Delta S_{\text{total}}=C\ln(4/3) é a entropia gerada pelo processo irreversível.

Passo 6

Resumo físico dos sinais:
  • \Delta S_{1}=C\ln 2>0: subsistema inicialmente mais frio ganha calor → entropia aumenta.
  • \Delta S_{2}=0: subsistema já estava na temperatura de equilíbrio → sem troca líquida de calor.
  • \Delta S_{3}=C\ln(2/3)<0: subsistema inicialmente mais quente perde calor → entropia diminui.
  • \Delta S_{\text{total}}=C\ln(4/3)>0: o aumento líquido de entropia do conjunto indica irreversibilidade do processo espontâneo; a diferença é a entropia gerada internamente.
Dica prática para a prova (curto e direto): conserve energia para achar T_f e use \Delta S=C\ln(T_f/T_i) para cada parte (lembre-se de justificar que se pode usar um caminho reversível para calcular \Delta S porque entropia é função de estado).

Resposta

(a) T_{f}=2T_{0}
(b) \Delta S_{1}=C\ln 2
\Delta S_{2}=0
\Delta S_{3}=C\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right)
\Delta S_{\text{total}}=C\ln\!\left(\dfrac{4}{3}\right)

Exercícios relacionados