Um sistema composto isolado é formado por três subsistemas idênticos, cujas capacidades térmicas são constantes e iguais a
. Inicialmente, eles são separados por paredes adiabáticas, rígidas e impermeáveis, e suas temperaturas são
e
. As paredes se tornam diatérmicas (permitem troca de calor) e o sistema evolue para um novo estado de equilíbrio, no qual os três subsistemas têm a mesma temperatura
.
(a) Determine a temperatura final de equilíbrio
.
(b) Determine as variações de entropia de cada subsistema e do sistema composto. Discuta o sinal de cada uma delas.
(a) Determine a temperatura final de equilíbrio
(b) Determine as variações de entropia de cada subsistema e do sistema composto. Discuta o sinal de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado e o que se pede (peguei todas as informações do enunciado):
- Três subsistemas idênticos, capacidades térmicas constantes e iguais a
. - Temperaturas iniciais:
, , . - O conjunto é isolado (energia total conservada). Inicialmente as paredes são adiabáticas; depois tornam-se diatérmicas e o sistema atinge equilíbrio térmico com temperatura comum
.
O enunciado pede:
(a) Determinar.
(b) Determinar as variações de entropia de cada subsistema e a variação total de entropia do sistema composto, e discutir o sinal de cada uma.
Passo 2
Conservação de energia (primeira lei) para o sistema isolado: a energia interna total inicial deve ser igual à energia interna total final. Para capacidades térmicas constantes a variação de energia interna de cada subsistema é
vezes a variação de temperatura. Como só interessa a soma das energias, podemos escrever diretamente as energias (proporcionais às temperaturas):
pois os três subsistemas ficam à mesma temperatura
. Igualando:
Dividindo por
(assumindo
):
Comentário rápido: quando as capacidades são iguais e constantes, a temperatura final é simplesmente a média aritmética das temperaturas iniciais ponderada por
; aqui dá
.
Passo 3
Fórmula para variação de entropia de cada subsistema e justificativa:
- Definição termodinâmica da entropia: a variação de entropia entre dois estados é
onde a integral é tomada ao longo de um processo reversível entre os mesmos estados. Importante: entropia é uma função de estado, então pode-se calcular
usando qualquer caminho reversível que ligue o estado inicial ao final — mesmo que o processo real seja irreversível.
- Para um sistema com capacidade térmica constante
, a quantidade de calor trocada em um processo reversível infinitesimal é . Logo:
Aqui
é a temperatura inicial do subsistema e
a final.
Passo 4
Aplicar a fórmula a cada subsistema usando
obtido no Passo 2.
Subsistema 1 (inicial
):
Interpretação física:
, pois esse subsistema absorveu calor para subir de
para
.
Subsistema 2 (inicial
):
Interpretação: esse subsistema já estava exatamente na temperatura final, logo não houve troca líquida de calor e sua entropia não mudou.
Subsistema 3 (inicial
):
Observação:
, portanto
. Esse subsistema perdeu calor ao resfriar de
para
, reduzindo sua entropia.
Passo 5
Variação total de entropia do sistema composto (soma das variações das partes):
Usando propriedades dos logaritmos:
Como
, temos
. Isso confirma a segunda lei para processos espontâneos em sistemas isolados: a entropia do conjunto isolado aumenta. A quantidade
é a entropia gerada pelo processo irreversível.
Passo 6
Resumo físico dos sinais:
-
: subsistema inicialmente mais frio ganha calor → entropia aumenta. -
: subsistema já estava na temperatura de equilíbrio → sem troca líquida de calor. -
: subsistema inicialmente mais quente perde calor → entropia diminui. -
: o aumento líquido de entropia do conjunto indica irreversibilidade do processo espontâneo; a diferença é a entropia gerada internamente.
Dica prática para a prova (curto e direto): conserve energia para achar
e use
para cada parte (lembre-se de justificar que se pode usar um caminho reversível para calcular
porque entropia é função de estado).
Resposta
(a)
(b)