Em uma máquina térmica, 3 mols de um gás ideal percorrem o ciclo
, onde o processo
é uma expansão isotérmica; o
, uma expansão adiabática; o
, uma compressão isobárica; e o
, um aquecimento isocórico. A pressão e a temperatura em
são 5 atm e 600 K , respectivamente. O volume em
é o dobro do de
. A pressão em
é 1 atm . Qual é a pressão, o volume e a temperatura nos pontos
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma máquina térmica onde um gás ideal faz um ciclo passando por quatro estados: A, B, C e D. A gente vai precisar usar a Lei dos Gases Ideais que relaciona pressão §, volume (V) e temperatura (T) de um gás:
Aqui, $ n $ é o número de mols do gás e $ R $ é a constante dos gases ideais. Vamos precisar também entender os diferentes tipos de processos termodinâmicos que acontecem entre esses estados: isoterma, adiabática, isobárica e isocórica. Agora, bora resolver!
Passo 2
Vamos começar pelo ponto A. Já temos alguns valores:
- Pressão em A, $ P_A = 5 $ atm
- Temperatura em A, $ T_A = 600 $ K
- Número de mols, $ n = 3 $ mol
Queremos encontrar o volume em A, $ V_A $. Usando a Lei dos Gases Ideais:
Como queremos $ V_A $, isolamos:
Vamos calcular com $ R = 0,0821 $ L·atm/(mol·K):
Então, $ V_A = 29,56 $ litros.
Passo 3
Agora, no processo AB, que é uma expansão isoterma (temperatura constante). Sabemos que o volume em B, $ V_B $, é o dobro de $ V_A $:
Como a temperatura é constante, $ T_B = T_A = 600 $ K. Para encontrar a pressão em B, usamos novamente a Lei dos Gases Ideais:
Isolando $ P_B $:
Então, $ P_B = 2,50 $ atm e $ T_B = 600 $ K.
Passo 4
Seguimos para o processo BC, que é uma expansão adiabática. Nesse processo, não troca calor com o ambiente, e a relação entre pressão e volume é dada por:
Onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $. Para um gás ideal monoatômico, $ \gamma = \frac{5}{3} $, mas vamos supor que seja esse o caso aqui.
Sabemos $ P_B = 2,50 $ atm e $ V_B = 59,12 $ L. Queremos encontrar $ P_C $ e $ V_C $. Porém, precisamos de mais informações sobre o processo adiabático para prosseguir.
Como não temos mais dados diretos, vamos utilizar a continuidade do ciclo até o próximo processo.
Passo 5
No processo CD, temos uma compressão isobárica (pressão constante). A pressão em D, $ P_D = 1 $ atm. Como é compressão, $ V_D < V_C $. Usando a Lei dos Gases Ideais nesse ponto:
Queremos relacionar com $ P_C $ e $ T_C $. Mas para isso, precisamos voltar ao processo adiabático BC e encontrar a relação entre $ T_C $ e $ V_C $.
Passo 6
No processo adiabático BC, a relação entre temperatura e volume é:
Então:
Isolando $ T_C $:
Mas ainda temos duas incógnitas, $ T_C $ e $ V_C $. Precisamos de mais uma equação.
Passo 7
Vamos para o último processo, DA, que é um aquecimento isocórico (volume constante). Isso nos dá uma relação direta entre $ T_D $ e $ T_A $:
Substituindo os valores:
Então, $ T_D = 120 $ K.
Passo 8
Voltando ao processo CD (isobárico), sabemos que a pressão é constante e igual a 1 atm. Usando a Lei dos Gases Ideais:
Como $ P_C = P_D = 1 $ atm e $ V_D < V_C $, podemos relacionar $ T_C $ e $ T_D $:
Mas ainda precisamos de mais informações. Vamos assumir que o ciclo fecha, então $ V_D = V_A = 29,56 $ L.
Passo 9
Assumindo $ V_D = V_A = 29,56 $ L, podemos usar a relação:
Também temos, do processo adiabático BC:
Igualando as duas expressões para $ T_C $:
Resolvendo numericamente essa equação, encontramos $ V_C $.
Passo 10
Resolvendo numericamente:
Vamos isolar $ V_C $:
Calculando os valores:
Então, $ V_C \approx 59,12 $ L.
Passo 11
Com $ V_C \approx 59,12 $ L, podemos encontrar $ T_C $:
E a pressão em C, usando a Lei dos Gases Ideais:
Resposta
Então, os valores são:
- Ponto A: $ P_A = 5 $ atm, $ V_A = 29,56 $ L, $ T_A = 600 $ K
- Ponto B: $ P_B = 2,50 $ atm, $ V_B = 59,12 $ L, $ T_B = 600 $ K
- Ponto C: $ P_C = 1,00 $ atm, $ V_C = 59,12 $ L, $ T_C = 240 $ K
- Ponto D: $ P_D = 1 $ atm, $ V_D = 29,56 $ L, $ T_D = 120 $ K