Em uma máquina térmica, 3 mols de um gás ideal percorrem o ciclo ABCD A, onde o processo AB é uma expansão isotérmica; o BC, uma expansão adiabática; o CD, uma compressão isobárica; e o DA, um aquecimento isocórico. A pressão e a temperatura em A são 5 atm e 600 K , respectivamente. O volume em B é o dobro do de A. A pressão em D é 1 atm . Qual é a pressão, o volume e a temperatura nos pontos A, B, C e D?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma máquina térmica onde um gás ideal faz um ciclo passando por quatro estados: A, B, C e D. A gente vai precisar usar a Lei dos Gases Ideais que relaciona pressão §, volume (V) e temperatura (T) de um gás:
PV = nRT
Aqui, $ n $ é o número de mols do gás e $ R $ é a constante dos gases ideais. Vamos precisar também entender os diferentes tipos de processos termodinâmicos que acontecem entre esses estados: isoterma, adiabática, isobárica e isocórica. Agora, bora resolver!

Passo 2

Vamos começar pelo ponto A. Já temos alguns valores:
  • Pressão em A, $ P_A = 5 $ atm
  • Temperatura em A, $ T_A = 600 $ K
  • Número de mols, $ n = 3 $ mol
Queremos encontrar o volume em A, $ V_A $. Usando a Lei dos Gases Ideais:
PA = 5
Como queremos $ V_A $, isolamos:
TA = 600
Vamos calcular com $ R = 0,0821 $ L·atm/(mol·K):
n = 3
Então, $ V_A = 29,56 $ litros.

Passo 3

Agora, no processo AB, que é uma expansão isoterma (temperatura constante). Sabemos que o volume em B, $ V_B $, é o dobro de $ V_A $:
VB
Como a temperatura é constante, $ T_B = T_A = 600 $ K. Para encontrar a pressão em B, usamos novamente a Lei dos Gases Ideais:
VA
Isolando $ P_B $:
VB = 2 VA = 2 times 29,56 = 59,12 L
Então, $ P_B = 2,50 $ atm e $ T_B = 600 $ K.

Passo 4

Seguimos para o processo BC, que é uma expansão adiabática. Nesse processo, não troca calor com o ambiente, e a relação entre pressão e volume é dada por:
P V^gamma = constante
Onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $. Para um gás ideal monoatômico, $ \gamma = \frac{5}{3} $, mas vamos supor que seja esse o caso aqui.
Sabemos $ P_B = 2,50 $ atm e $ V_B = 59,12 $ L. Queremos encontrar $ P_C $ e $ V_C $. Porém, precisamos de mais informações sobre o processo adiabático para prosseguir.
Como não temos mais dados diretos, vamos utilizar a continuidade do ciclo até o próximo processo.

Passo 5

No processo CD, temos uma compressão isobárica (pressão constante). A pressão em D, $ P_D = 1 $ atm. Como é compressão, $ V_D < V_C $. Usando a Lei dos Gases Ideais nesse ponto:
PD = 1
Queremos relacionar com $ P_C $ e $ T_C $. Mas para isso, precisamos voltar ao processo adiabático BC e encontrar a relação entre $ T_C $ e $ V_C $.

Passo 6

No processo adiabático BC, a relação entre temperatura e volume é:
T V^gamma - 1 = constante
Então:
TB VB^gamma - 1 = TC VC^gamma - 1
Isolando $ T_C $:
TC
Mas ainda temos duas incógnitas, $ T_C $ e $ V_C $. Precisamos de mais uma equação.

Passo 7

Vamos para o último processo, DA, que é um aquecimento isocórico (volume constante). Isso nos dá uma relação direta entre $ T_D $ e $ T_A $:
TD
Substituindo os valores:
TA
Então, $ T_D = 120 $ K.

Passo 8

Voltando ao processo CD (isobárico), sabemos que a pressão é constante e igual a 1 atm. Usando a Lei dos Gases Ideais:
PC VC = n R TC
PD VD = n R TD
Como $ P_C = P_D = 1 $ atm e $ V_D < V_C $, podemos relacionar $ T_C $ e $ T_D $:
PC = PD = 1
Mas ainda precisamos de mais informações. Vamos assumir que o ciclo fecha, então $ V_D = V_A = 29,56 $ L.

Passo 9

Assumindo $ V_D = V_A = 29,56 $ L, podemos usar a relação:
VD = VA = 29,56
TCVC = TDVD
Também temos, do processo adiabático BC:
TC = TDVD VC = 12029,56 VC approx 4,06 VC
Igualando as duas expressões para $ T_C $:
TC = TB ( VBVC )^gamma - 1 = 600 ( 59,12VC )^2/3
Resolvendo numericamente essa equação, encontramos $ V_C $.

Passo 10

Resolvendo numericamente:
4,06 VC = 600 ( 59,12VC )^2/3
Vamos isolar $ V_C $:
VC
Calculando os valores:
VC^5/3 = 6004,06 times 59,12^2/3
6004,06 approx 147,78
59,12^2/3 approx 19,67
VC^5/3 = 147,78 times 19,67 approx 2907,5
Então, $ V_C \approx 59,12 $ L.

Passo 11

Com $ V_C \approx 59,12 $ L, podemos encontrar $ T_C $:
VC approx 59,12
E a pressão em C, usando a Lei dos Gases Ideais:
TC
TC = 4,06 times 59,12 approx 240 K

Resposta

Então, os valores são:
  • Ponto A: $ P_A = 5 $ atm, $ V_A = 29,56 $ L, $ T_A = 600 $ K
  • Ponto B: $ P_B = 2,50 $ atm, $ V_B = 59,12 $ L, $ T_B = 600 $ K
  • Ponto C: $ P_C = 1,00 $ atm, $ V_C = 59,12 $ L, $ T_C = 240 $ K
  • Ponto D: $ P_D = 1 $ atm, $ V_D = 29,56 $ L, $ T_D = 120 $ K

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