Uma máquina térmica opera com um mol de um gás ideal monoatômico. O ciclo começa em P1 = 1 atm e V1 = 24,6 L. Depois é aquecido a volume constante até P2 =2 \mathrm{~atm}. Expande-se em seguida a pressão constante até \mathrm{V} 3=49,2 \mathrm{~L}. O gás é depois resfriado isocoricamente até a pressão ser novamente 1 atm . Fecha, então, o ciclo até o estado inicial. Considerando que todas as etapas ocorrem reversível e quase-estaticamente. (a) Calcule o rendimento desta máquina. (b) Calcule o COE caso o ciclo ocorra no sentido contrário.

Passo 1

Vamos entender exatamente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos (pegar do enunciado):
  • número de mols: n=1 mol.
  • Estado 1: P_1=1\\ \text{atm}, V_1=24,6\\ \text{L}.
  • Processo 1 \to2: aquecimento a volume constante até P_2=2\\ \text{atm}. Logo V_2=V_1.
  • Processo 2 \to3: expansão a pressão constante (isto é, P_2=2\\ \text{atm} constante) até V_3=49,2\\ \text{L}. Logo P_3=P_2.
  • Processo 3 \to4: resfriamento isocórico até a pressão ser novamente 1\\ \text{atm}. Logo V_4=V_3 e P_4=P_1.
  • Processo 4 \to1: fechando o ciclo volta-se ao estado inicial — isso é uma compressão isobárica a P_1=1\\ \text{atm} de V_4 até V_1.
O que se pede:
(a) Calcular o rendimento (eficiência) da máquina térmica que percorre o ciclo no sentido dado.
(b) Calcular o COE (coeficiente de desempenho, isto é, COP) quando o ciclo ocorre no sentido contrário (ou seja, opera como refrigerador).
Observação: todas as etapas são reversíveis e quase-estáticas e o gás é ideal monoatômico. Não foi pedido para assumir reservatórios apenas em duas temperaturas, então faremos a análise processo a processo e usaremos a definição de eficiência e de COP apropriadas.

Passo 2

Converter unidades para SI e calcular temperaturas nos pontos usando a equação dos gases perfeitos \;PV=nRT\;. Constantes e conversões:
  • 1\\ \text{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa}.
  • 1\\ \text{L}=10^{-3}\\ \text{m}^{3}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}.
Convertendo:
P_1=1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa},\quad P_2=2{,}026\times10^{5}\\ \text{Pa}
V_1=24{,}6\\ \text{L}=0{,}0246\\ \text{m}^{3},\quad V_3=49{,}2\\ \text{L}=0{,}0492\\ \text{m}^{3}.
Temperaturas em cada estado via \;T=\dfrac{PV}{nR}\;:
T_1=\dfrac{P_1V_1}{R}=\dfrac{1{,}013\times10^{5}\cdot0{,}0246}{8{,}314}\approx299{,}8\\ \text{K}.
Como V_2=V_1 e P_2=2P_1, tem-se T_2=2T_1:
T_2\approx599{,}6\\ \text{K}.
Para o estado 3: P_3=P_2 e V_3 dado, logo
T_3=\dfrac{P_2V_3}{R}= \dfrac{2P_1V_3}{R}=2\cdot\dfrac{P_1V_3}{R}\approx1199{,}2\\ \text{K}.
Estado 4 tem P_4=P_1 e V_4=V_3, então
T_4=\dfrac{P_1V_3}{R}\approx599{,}6\\ \text{K}.
Resumo útil:
T_1\approx299{,}8\\ \text{K},\quad T_2\approx599{,}6\\ \text{K},\quad T_3\approx1199{,}2\\ \text{K},\quad T_4\approx599{,}6\\ \text{K}.

Passo 3

Calcular o trabalho líquido por ciclo W_{\text{líq}}í. Num diagrama P\times V esse ciclo é um retângulo com lados em V_1,V_3 e P_1,P_2. O trabalho líquido é a área do retângulo:
W_{\text{líq}}=(P_2-P_1)(V_3-V_1).í
Substituindo em SI:
W_{\text{líq}}=(2{,}026\times10^{5}-1{,}013\times10^{5})(0{,}0492-0{,}0246)\\ \text{J}.í
W_{\text{líq}}=1{,}013\times10^{5}\cdot0{,}0246\\ \text{J}\approx2491{,}98\\ \text{J}.í
Portanto W_{\text{líq}}\approx2492\\ \text{J}í. Pela primeira lei, isso deve ser igual ao calor total recebido pela máquina no ciclo (soma algébrica dos Q).

Passo 4

Calcular as trocas de calor em cada processo (vamos sempre usar n=1). Para gás monoatômico ideal:
C_V=\tfrac{3}{2}R,\qquad C_P=\tfrac{5}{2}R.
Processo 1 \to2 (isochorico, V constante):
Q_{1\to2}=nC_V(T_2-T_1)=1\cdot\tfrac{3}{2}R(T_2-T_1).
Calculando:
T_2-T_1\approx599{,}6-299{,}8=299{,}8\\ \text{K},
Q_{1\to2}=\tfrac{3}{2}\cdot8{,}314\cdot299{,}8\\ \text{J}\approx3737{,}97\\ \text{J}.
Processo 2 \to3 (isobárico, P constante):
Q_{2\to3}=nC_P(T_3-T_2)=\tfrac{5}{2}R(T_3-T_2).
T_3-T_2\approx1199{,}2-599{,}6=599{,}6\\ \text{K},
Q_{2\to3}=\tfrac{5}{2}\cdot8{,}314\cdot599{,}6\\ \text{J}\approx12459{,}9\\ \text{J}.
Processo 3 \to4 (isochorico, resfriamento):
Q_{3\to4}=nC_V(T_4-T_3)=\tfrac{3}{2}R(T_4-T_3).
T_4-T_3\approx599{,}6-1199{,}2=-599{,}6\\ \text{K},
Q_{3\to4}=\tfrac{3}{2}\cdot8{,}314\cdot(-599{,}6)\\ \text{J}\approx-7475{,}9\\ \text{J}.
Processo 4 \to1 (isobárico, compressão):
Q_{4\to1}=nC_P(T_1-T_4)=\tfrac{5}{2}R(T_1-T_4).
T_1-T_4\approx299{,}8-599{,}6=-299{,}8\\ \text{K},
Q_{4\to1}=\tfrac{5}{2}\cdot8{,}314\cdot(-299{,}8)\\ \text{J}\approx-6229{,}95\\ \text{J}.
Conferência rápida (primeira lei no ciclo): soma dos Q deve dar W_{\text{líq}}í:
Q_{\text{total}}=Q_{1\to2}+Q_{2\to3}+Q_{3\to4}+Q_{4\to1}\approx3737{,}97+12459{,}9-7475{,}9-6229{,}95\approx2491{,}98\\ \text{J},
que confirma o W_{\text{líq}}í calculado.

Passo 5

Calcular o rendimento \eta da máquina térmica no sentido dado. Definição de rendimento para máquina térmica:
\eta=\dfrac{W_{\text{líq}}}{Q_{\text{in}}},í
onde Q_{\text{in}} é a soma das parcelas de calor que entram no sistema (trocadas com sinal positivo). Aqui Q_{1\to2}>0 e Q_{2\to3}>0 são as entradas de calor. Logo
Q_{\text{in}}=Q_{1\to2}+Q_{2\to3}\approx3737{,}97+12459{,}9\approx16197{,}9\\ \text{J}.
Então
\eta=\dfrac{2491{,}98}{16197{,}9}\approx0{,}15393\approx15{,}39\%.
Interpretação: a máquina converte cerca de 15{,}4\% do calor que recebe em trabalho, o resto é rejeitado.

Passo 6

Calcular o COE (COP) quando o ciclo ocorre no sentido contrário. Primeiro definimos precisamente o que queremos: ao inverter o sentido o aparelho funciona como refrigerador (ou bomba de calor). Normalmente o COE pedido para refrigerador é
\text{COE (refrigerador)}=\text{COP}_\text{R}=\dfrac{Q_{\text{retirada do frio}}}{W_{\text{fornecido}}},
onde Q_{\text{retirada do frio}} é o calor extraído do reservatório frio e W_{\text{fornecido}} é o trabalho que deve ser fornecido ao ciclo para fazê-lo funcionar no sentido inverso.
Identificar o processo que, em sentido inverso, retira calor do reservatório frio: no ciclo direto a etapa 4\to1 foi uma compressão isobárica que liberou calor ao reservatório frio (tínhamos Q_{4\to1}<0 com magnitude |Q_{4\to1}|). Portanto, no ciclo invertido essa etapa vira uma expansão isobárica 1\to4 que absorve calor do reservatório frio. Assim
Q_{\text{retirada do frio}}=-Q_{4\to1}\approx6229{,}95\\ \text{J}.
O trabalho fornecido ao ciclo invertido é o mesmo módulo do trabalho entregue no sentido direto:
W_{\text{fornecido}}=W_{\text{líq}}\approx2491{,}98\\ \text{J}.í
Logo
\text{COE}=\dfrac{6229{,}95}{2491{,}98}\approx2{,}500.
Interpretação simples: para retirar 1 joule de calor do reservatório frio o refrigerador precisa fornecer \approx0{,}4 J de trabalho (inverso de 2,5), ou seja, COP \approx2{,}5.

Resposta

\eta\approx0{,}1539=15{,}39\%
\text{COE (reverso)}\approx2{,}50

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