Uma máquina térmica opera com um mol de um gás ideal monoatômico. O ciclo começa em P1 = 1 atm e V1 = 24,6 L. Depois é aquecido a volume constante até P2
. Expande-se em seguida a pressão constante até
. O gás é depois resfriado isocoricamente até a pressão ser novamente 1 atm . Fecha, então, o ciclo até o estado inicial. Considerando que todas as etapas ocorrem reversível e quase-estaticamente. (a) Calcule o rendimento desta máquina. (b) Calcule o COE caso o ciclo ocorra no sentido contrário.
Passo 1
Vamos entender exatamente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos (pegar do enunciado):
- número de mols:
mol. - Estado 1:
, . - Processo 1
2: aquecimento a volume constante até . Logo . - Processo 2
3: expansão a pressão constante (isto é, constante) até . Logo . - Processo 3
4: resfriamento isocórico até a pressão ser novamente . Logo e . - Processo 4
1: fechando o ciclo volta-se ao estado inicial — isso é uma compressão isobárica a de até .
O que se pede:
(a) Calcular o rendimento (eficiência) da máquina térmica que percorre o ciclo no sentido dado.
(b) Calcular o COE (coeficiente de desempenho, isto é, COP) quando o ciclo ocorre no sentido contrário (ou seja, opera como refrigerador).
(a) Calcular o rendimento (eficiência) da máquina térmica que percorre o ciclo no sentido dado.
(b) Calcular o COE (coeficiente de desempenho, isto é, COP) quando o ciclo ocorre no sentido contrário (ou seja, opera como refrigerador).
Observação: todas as etapas são reversíveis e quase-estáticas e o gás é ideal monoatômico. Não foi pedido para assumir reservatórios apenas em duas temperaturas, então faremos a análise processo a processo e usaremos a definição de eficiência e de COP apropriadas.
Passo 2
Converter unidades para SI e calcular temperaturas nos pontos usando a equação dos gases perfeitos
. Constantes e conversões:
-
. -
. - Constante dos gases:
.
Convertendo:
Temperaturas em cada estado via
:
Como
e
, tem-se
:
Para o estado 3:
e
dado, logo
Estado 4 tem
e
, então
Resumo útil:
Passo 3
Calcular o trabalho líquido por ciclo
. Num diagrama
esse ciclo é um retângulo com lados em
e
. O trabalho líquido é a área do retângulo:
Substituindo em SI:
Portanto
. Pela primeira lei, isso deve ser igual ao calor total recebido pela máquina no ciclo (soma algébrica dos
).
Passo 4
Calcular as trocas de calor em cada processo (vamos sempre usar
). Para gás monoatômico ideal:
Processo 1
2 (isochorico,
constante):
Calculando:
Processo 2
3 (isobárico,
constante):
Processo 3
4 (isochorico, resfriamento):
Processo 4
1 (isobárico, compressão):
Conferência rápida (primeira lei no ciclo): soma dos
deve dar
:
que confirma o
calculado.
Passo 5
Calcular o rendimento
da máquina térmica no sentido dado. Definição de rendimento para máquina térmica:
onde
é a soma das parcelas de calor que entram no sistema (trocadas com sinal positivo). Aqui
e
são as entradas de calor. Logo
Então
Interpretação: a máquina converte cerca de
do calor que recebe em trabalho, o resto é rejeitado.
Passo 6
Calcular o COE (COP) quando o ciclo ocorre no sentido contrário. Primeiro definimos precisamente o que queremos: ao inverter o sentido o aparelho funciona como refrigerador (ou bomba de calor). Normalmente o COE pedido para refrigerador é
onde
é o calor extraído do reservatório frio e
é o trabalho que deve ser fornecido ao ciclo para fazê-lo funcionar no sentido inverso.
Identificar o processo que, em sentido inverso, retira calor do reservatório frio: no ciclo direto a etapa
foi uma compressão isobárica que liberou calor ao reservatório frio (tínhamos
com magnitude
). Portanto, no ciclo invertido essa etapa vira uma expansão isobárica
que absorve calor do reservatório frio. Assim
O trabalho fornecido ao ciclo invertido é o mesmo módulo do trabalho entregue no sentido direto:
Logo
Interpretação simples: para retirar
joule de calor do reservatório frio o refrigerador precisa fornecer
J de trabalho (inverso de 2,5), ou seja, COP
.