Uma máquina utiliza um mol de um gás ideal com
e inicialmente a
e 400 K . Sofre uma expansão isotérmica a 400 K até o volume ser o dobro do inicial. Sofre depois um resfriamento isocórico até 300 K . Depois sofre uma compressão isotérmica até o volume inicial e fecha depois de chegar no ponto de partida isocoricamente. Qual o rendimento desta máquina?
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o rendimento (eficiência) da máquina térmica que descreve um ciclo com quatro etapas e retorna ao ponto inicial.
Dados fornecidos:
Sequência de processos (na ordem):
- Expansão isotérmica a
de até . - Resfriamento isocórico (volume
constante) de até . - Compressão isotérmica a
de de volta a . - Aquecimento isocórico (volume
constante) de até , fechando o ciclo.
Observações que ficam explícitas: o processo começa a
e tem um ponto a
; o gás é ideal (implícito no enunciado).
Passo 2
Estratégia de cálculo (já entrando na resolução): o rendimento
de uma máquina térmica é a razão entre o trabalho líquido realizado no ciclo e o calor total absorvido (somente as entradas de calor):
Como o ciclo é fechado, pela primeira lei da termodinâmica
, onde
é a soma algébrica dos calores trocados em cada processo. Vamos calcular, para cada etapa, o calor trocado
e somar.
Relembre (mini-aula rápida):
- Para um processo isotérmico de gás ideal a temperatura
temos (energia interna depende só de ), então o calor é igual ao trabalho:
Aqui
é o número de mols,
é a constante dos gases perfeitos (usemos
),
a temperatura (em K) e
volumes final e inicial.
- Para um processo isocórico (volume constante) não há trabalho
e o calor é a variação da energia interna:
onde
é a capacidade térmica molar a volume constante e
.
Passo 3
Calcule o calor trocado na expansão isotérmica (etapa 1). Usamos a fórmula isotérmica com
,
, e razão de volumes
:
Colocando
:
Vamos calcular numericamente (mostrando os passos):
Passo 4
Calcule o calor trocado no resfriamento isocórico (etapa 2), que vai de
para
a volume
constante:
Interpretação: negativo significa que o sistema retirou calor (calor foi cedido ao ambiente).
Passo 5
Calcule o calor trocado na compressão isotérmica (etapa 3) a
de
para
(razão
):
Como
, temos
Numérico:
Passo 6
Calcule o calor trocado no aquecimento isocórico final (etapa 4), que vai de
para
a volume
constante:
Esse calor é positivo (entró no gás).
Passo 7
Agora somamos os calores para obter o calor líquido e o trabalho líquido. Primeiro observe que
e
cancelam numericamente:
Logo o calor líquido reduz-se às contribuições isotérmicas:
Substituindo as fórmulas isotérmicas:
Com
,
,
:
Numérico:
Como o ciclo é fechado, esse é também o trabalho líquido
.
Passo 8
Calcule o calor total absorvido
. Os processos onde o sistema absorve calor são aqueles com
: etapas 1 e 4. Assim
Usando os valores numéricos:
Passo 9
Finalmente, o rendimento é
Substituindo os números:
Convertendo para porcentagem:
Comentário rápido e motivador: dá para ver que o rendimento é menor que o de um ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas (que seria
ou
), porque esse ciclo mistura etapas isotérmicas e isocóricas de forma que parte do calor absorvido não é perfeitamente convertido em trabalho. Mas relaxa — chegaste aqui e resolveste tudo passo a passo!