Uma máquina utiliza um mol de um gás ideal com \mathrm{Cv}=21 \mathrm{~J} / \mathrm{K} e inicialmente a 24,6 \mathrm{~L} e 400 K . Sofre uma expansão isotérmica a 400 K até o volume ser o dobro do inicial. Sofre depois um resfriamento isocórico até 300 K . Depois sofre uma compressão isotérmica até o volume inicial e fecha depois de chegar no ponto de partida isocoricamente. Qual o rendimento desta máquina?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o rendimento (eficiência) da máquina térmica que descreve um ciclo com quatro etapas e retorna ao ponto inicial.
Dados fornecidos:
n=1\\ \text{mol},
C_v=21\\ \mathrm{J/K},
V_1=24{,}6\\ \mathrm{L},
T_1=400\\ \mathrm{K}.
Sequência de processos (na ordem):
  1. Expansão isotérmica a 400\\ \mathrm{K} de V_1 até V_2=2V_1.
  2. Resfriamento isocórico (volume V_2 constante) de 400\\ \mathrm{K} até 300\\ \mathrm{K}.
  3. Compressão isotérmica a 300\\ \mathrm{K} de V_2=2V_1 de volta a V_1.
  4. Aquecimento isocórico (volume V_1 constante) de 300\\ \mathrm{K} até 400\\ \mathrm{K}, fechando o ciclo.
Observações que ficam explícitas: o processo começa a T_H=400\\ \mathrm{K} e tem um ponto a T_C=300\\ \mathrm{K}; o gás é ideal (implícito no enunciado).

Passo 2

Estratégia de cálculo (já entrando na resolução): o rendimento \eta de uma máquina térmica é a razão entre o trabalho líquido realizado no ciclo e o calor total absorvido (somente as entradas de calor):
\eta=\frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{absorvido}}}.í
Como o ciclo é fechado, pela primeira lei da termodinâmica W_{\text{líquido}}=Q_{\text{líquido}}íí, onde Q_{\text{líquido}}í é a soma algébrica dos calores trocados em cada processo. Vamos calcular, para cada etapa, o calor trocado Q_i e somar.
Relembre (mini-aula rápida):
  • Para um processo isotérmico de gás ideal a temperatura T temos \Delta U=0 (energia interna depende só de T), então o calor é igual ao trabalho:
Q_{\text{isot}}=W_{\text{isot}}=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Aqui n é o número de mols, R é a constante dos gases perfeitos (usemos R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}), T a temperatura (em K) e V_f,V_i volumes final e inicial.
  • Para um processo isocórico (volume constante) não há trabalho W=0 e o calor é a variação da energia interna:
Q_{\text{isoc}}=nC_v\Delta T,
onde C_v é a capacidade térmica molar a volume constante e \Delta T=T_f-T_i.

Passo 3

Calcule o calor trocado na expansão isotérmica (etapa 1). Usamos a fórmula isotérmica com n=1, T_H=400\\ \mathrm{K}, e razão de volumes V_f/V_i=2:
Q_1 = n R T_H \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=1\cdot R\cdot 400\ln 2.
Colocando R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}:
Q_1 = 8{,}314\cdot 400\cdot\ln 2.
Vamos calcular numericamente (mostrando os passos):
8{,}314\cdot 400 = 3325{,}6,
\ln 2 \approx 0{,}693147,
Q_1 \approx 3325{,}6\cdot 0{,}693147 \approx 2305{,}6\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcule o calor trocado no resfriamento isocórico (etapa 2), que vai de T=400\\ \mathrm{K} para T=300\\ \mathrm{K} a volume V_2 constante:
Q_2 = n C_v (T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}})=1\cdot 21\cdot(300-400).
Q_2 = 21\cdot(-100)=-2100\\ \mathrm{J}.
Interpretação: negativo significa que o sistema retirou calor (calor foi cedido ao ambiente).

Passo 5

Calcule o calor trocado na compressão isotérmica (etapa 3) a T_C=300\\ \mathrm{K} de V_2 para V_1 (razão V_f/V_i=1/2):
Q_3 = n R T_C \ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right)=R\cdot 300\ln\left(\tfrac{1}{2}\right).
Como \ln(1/2)=-\ln 2, temos
Q_3 = -R\cdot 300\ln 2.
Numérico:
8{,}314\cdot 300 = 2494{,}2,
Q_3 \approx -2494{,}2\cdot 0{,}693147 \approx -1729{,}2\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcule o calor trocado no aquecimento isocórico final (etapa 4), que vai de T=300\\ \mathrm{K} para T=400\\ \mathrm{K} a volume V_1 constante:
Q_4 = n C_v (400-300)=1\cdot 21\cdot 100 = 2100\\ \mathrm{J}.
Esse calor é positivo (entró no gás).

Passo 7

Agora somamos os calores para obter o calor líquido e o trabalho líquido. Primeiro observe que Q_2 e Q_4 cancelam numericamente:
Q_2+Q_4 = -2100 + 2100 = 0.
Logo o calor líquido reduz-se às contribuições isotérmicas:
Q_{\text{líquido}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = Q_1 + Q_3.í
Substituindo as fórmulas isotérmicas:
Q_{\text{líquido}} = nR\ln 2\,(T_H - T_C).í
Com n=1, T_H=400, T_C=300:
Q_{\text{líquido}} = R\ln 2\cdot(400-300)=100R\ln 2.í
Numérico:
Q_{\text{líquido}} \approx 100\cdot 8{,}314\cdot 0{,}693147 \approx 576{,}4\\ \mathrm{J}.í
Como o ciclo é fechado, esse é também o trabalho líquido W_{\text{líquido}}\approx 576{,}4\\ \mathrm{J}í.

Passo 8

Calcule o calor total absorvido Q_{\text{absorvido}}. Os processos onde o sistema absorve calor são aqueles com Q>0: etapas 1 e 4. Assim
Q_{\text{absorvido}} = Q_1 + Q_4.
Usando os valores numéricos:
Q_{\text{absorvido}} \approx 2305{,}6 + 2100 = 4405{,}6\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Finalmente, o rendimento é
\eta=\frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{absorvido}}}=\frac{Q_{\text{líquido}}}{Q_{\text{absorvido}}}.íí
Substituindo os números:
\eta \approx \frac{576{,}4}{4405{,}6}\approx 0{,}1308.
Convertendo para porcentagem:
\eta \approx 13{,}08\%.
Comentário rápido e motivador: dá para ver que o rendimento é menor que o de um ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas (que seria 1-\tfrac{T_C}{T_H}=1-\tfrac{300}{400}=0{,}25 ou 25\%), porque esse ciclo mistura etapas isotérmicas e isocóricas de forma que parte do calor absorvido não é perfeitamente convertido em trabalho. Mas relaxa — chegaste aqui e resolveste tudo passo a passo!

Resposta

\eta \approx 0,1308 \approx 13{,}08\%

Exercícios relacionados