Se um pedaço 1 kg de cobre, a 100^{\circ} \mathrm{C}, for lançado num lago a 10^{\circ} \mathrm{C}, qual a variação de entropia do universo?

Passo 1

O enunciado pergunta a variação de entropia do universo quando um pedaço de cobre de massa m a 100^\circ\mathrm{C} é lançado num lago a 10^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos que vamos usar explicitamente:
m=1\\ \mathrm{kg} (massa do cobre),
a temperatura inicial do cobre T_{i,\text{Cu}}=100^\circ\mathrm{C},
a temperatura do lago T_{\text{lago}}=10^\circ\mathrm{C}.
Também vamos precisar do calor específico do cobre; vou usar o valor padrão
c_{\text{Cu}}=385\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}.
O que se pede: a variação total de entropia do universo \Delta S_{\text{universo}}=\Delta S_{\text{Cu}}+\Delta S_{\text{lago}}.

Passo 2

Primeiro convertemos as temperaturas para Kelvin (lembrando que T(\mathrm{K})=T(^\circ\mathrm{C})+273):
T_{i,\text{Cu}}=100^\circ\mathrm{C}=373\\ \mathrm{K},
T_{\text{lago}}=10^\circ\mathrm{C}=283\\ \mathrm{K}.
Sempre trabalhe em Kelvin quando for integrar ou usar razões de temperatura em entropia.

Passo 3

Vou explicar o conceito e a fórmula que vamos usar: a entropia é uma função de estado que, para uma transformação reversível, muda segundo
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Para um corpo com calor específico constante c (independente de T) que troca calor reversivelmente ao variar sua temperatura, a variação de entropia entre T_i e T_f é
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f}\frac{m c\,dT}{T}=m c\ln\frac{T_f}{T_i}.
Aqui m é a massa, c é o calor específico (unidade \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}), T é a temperatura em kelvin. Observação importante: mesmo que o processo real de resfriamento do pedaço de cobre no lago seja irreversível, a entropia do cobre é uma função de estado, então podemos calcular sua variação integrando por um caminho reversível entre os mesmos estados térmicos.

Passo 4

Calculamos a variação de entropia do cobre usando a fórmula acima com T_i=T_{i,\text{Cu}}=373\\ \mathrm{K} e T_f=T_{\text{lago}}=283\\ \mathrm{K}:
\Delta S_{\text{Cu}}=m c_{\text{Cu}}\ln\frac{T_f}{T_i}=1\cdot 385\cdot\ln\!\frac{283}{373}.
Calculando a razão e o logaritmo:
\frac{283}{373}\approx 0,758\quad\Rightarrow\quad \ln\!\frac{283}{373}\approx -0,2760.
Portanto
\Delta S_{\text{Cu}}=385\cdot(-0,2760)\approx -106,3\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação: o cobre perde entropia ao esfriar (sinal negativo).

Passo 5

Agora precisamos do calor trocado entre cobre e lago. A variação de energia térmica do cobre (calor perdido) é
Q_{\text{Cu}}=m c_{\text{Cu}}(T_f-T_i)=1\cdot 385\cdot(283-373)=385\cdot(-90)=-34\,650\\ \mathrm{J}.
Pelo princípio da conservação de energia (assumindo que o lago é muito maior e só ele absorve esse calor), o lago recebe
Q_{\text{lago}}=-Q_{\text{Cu}}=+34\,650\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Como o lago é enorme (reservatório térmico) e sua temperatura permanece praticamente constante em T_{\text{lago}}=283\\ \mathrm{K}, sua variação de entropia é simplesmente
\Delta S_{\text{lago}}=\frac{Q_{\text{lago}}}{T_{\text{lago}}}=\frac{34\,650}{283}\approx 122,4\\ \mathrm{J/K}.
Aqui usamos a fórmula válida para um reservatório em temperatura constante: \Delta S=Q/T.

Passo 7

Somamos as duas contribuições para obter a variação total de entropia do universo:
\Delta S_{\text{universo}}=\Delta S_{\text{Cu}}+\Delta S_{\text{lago}}\approx -106,3+122,4=16,1\\ \mathrm{J/K}.
O valor é positivo, como exige a segunda lei da termodinâmica para o processo espontâneo irreversível (entropia do universo aumenta).

Resposta

\Delta S_{\text{universo}}\approx 16,1\\ \mathrm{J/K}

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