Um pedaço de cobre de 1 kg , a 100^{\circ} \mathrm{C}, é colocado em um calorímetro de capacidade calorífica desprezível com 4 L de água a 0^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a variação de entropia do universo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa só. Vou listar certinho para não nos perdermos:
  • Massa do cobre: m_{\text{Cu}}=1\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do cobre: T_{\text{Cu,i}}=100^\circ\mathrm{C}.
  • Volume de água: V_{\text{H}_2\mathrm{O}}=4\\ \mathrm{L}. Como a densidade da água é 1\\ \mathrm{kg/L}, a massa da água é m_{\text{H}_2\mathrm{O}}=4\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial da água: T_{\text{H}_2\mathrm{O,i}}=0^\circ\mathrm{C}.
  • Capacidade calorífica do calorímetro desprezível (ou seja, não absorve calor).
  • O que pedem: calcular a variação de entropia do universo (ou seja, \Delta S_{\text{universo}}=\Delta S_{\text{cobre}}+\Delta S_{\text{água}}á).
Observações que já anotei (não resolvo ainda): vamos precisar dos calores específicos. Vou usar valores usualmente tabelados:
  • Calor específico do cobre: c_{\text{Cu}}=385\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Calor específico da água: c_{\text{H}_2\mathrm{O}}=4184\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Primeiro passo da resolução prática: achar a temperatura de equilíbrio T_f. Pela conservação de energia (o calor perdido pelo cobre é ganho pela água, calor do calorímetro desprezível):
m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}}\bigl(T_{\text{Cu,i}}-T_f\bigr)=m_{\text{H}_2\mathrm{O}} c_{\text{H}_2\mathrm{O}}\bigl(T_f-T_{\text{H}_2\mathrm{O,i}}\bigr).
Aqui uso temperaturas em qualquer escala linear (°C ou K) porque aparecem só diferenças; vou trabalhar em °C para facilitar os números. Isolando T_f:
T_f=\frac{m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}} T_{\text{Cu,i}} + m_{\text{H}_2\mathrm{O}} c_{\text{H}_2\mathrm{O}} T_{\text{H}_2\mathrm{O,i}}}{m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}} + m_{\text{H}_2\mathrm{O}} c_{\text{H}_2\mathrm{O}}}.
Substituindo os valores ( T_{\text{H}_2\mathrm{O,i}}=0^\circ\mathrm{C}):
T_f=\frac{1\cdot 385\cdot 100 + 4\cdot 4184\cdot 0}{1\cdot 385 + 4\cdot 4184} =\frac{38500}{385+16736}=\frac{38500}{17121}\,^{\circ}\mathrm{C}.
Calculando:
T_f \approx 2{,}2487^\circ\mathrm{C}.
Para cálculos de entropia preciso das temperaturas em Kelvin. Então:
T_f = 273{,}15+2{,}2487 \approx 275{,}3987\\ \mathrm{K}.
Também registro as temperaturas iniciais em Kelvin:
T_{\text{Cu,i}}=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{\text{H}_2\mathrm{O,i}}=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Agora uma pequena aula rápida e prática sobre entropia que vamos usar (respira, não é nada impossível):
Para um corpo com calor específico praticamente constante c (independente de T no intervalo considerado), a variação de entropia ao ir de T_i para T_f em uma transformação reversível é
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}=\int_{T_i}^{T_f}\frac{m c\, dT}{T}=m c\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Explicando cada símbolo:
  • m é a massa do corpo (kg).
  • c é o calor específico (J/(kg·K)).
  • T_i e T_f são as temperaturas inicial e final em Kelvin.
  • \Delta S tem unidade J/K.
Usamos essa fórmula porque numa troca de calor interna com capacidade térmica constante a energia trocada elementar é dQ=mc\,dT, e dividir por T e integrar dá o logaritmo.

Passo 4

Calcular a variação de entropia do cobre. O cobre esfria de T_{\text{Cu,i}}=373{,}15\\ \mathrm{K} para T_f=275{,}3987\\ \mathrm{K}. Aplicando a fórmula:
\Delta S_{\text{Cu}}=m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}}\ln\!\left(\frac{T_f}{T_{\text{Cu,i}}}\right) =1\cdot 385\cdot \ln\!\left(\frac{275{,}3987}{373{,}15}\right).
Calculando o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{275{,}3987}{373{,}15}\right)\approx \ln(0{,}73778)\approx -0{,}30496.
Logo
\Delta S_{\text{Cu}}\approx 385\times(-0{,}30496)\approx -117{,}81\\ \mathrm{J/K}.
(O sinal negativo faz sentido: o cobre perde calor, sua entropia diminui.)

Passo 5

Calcular a variação de entropia da água. A água aquece de T_{\text{H}_2\mathrm{O,i}}=273{,}15\\ \mathrm{K} para T_f=275{,}3987\\ \mathrm{K}. Aplicando a fórmula com m_{\text{H}_2\mathrm{O}}=4\\ \mathrm{kg} e c_{\text{H}_2\mathrm{O}}=4184\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}:
\Delta S_{\text{H}_2\mathrm{O}}=m_{\text{H}_2\mathrm{O}} c_{\text{H}_2\mathrm{O}}\ln\!\left(\frac{T_f}{T_{\text{H}_2\mathrm{O,i}}}\right) =4\cdot 4184\cdot \ln\!\left(\frac{275{,}3987}{273{,}15}\right).
Calculemos o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{275{,}3987}{273{,}15}\right)\approx \ln(1{,}008248)\approx 0{,}0082149.
Então
\Delta S_{\text{H}_2\mathrm{O}}\approx 16736\times 0{,}0082149\approx 137{,}36\\ \mathrm{J/K}.
(O sinal positivo: água ganhou calor, sua entropia aumentou.)

Passo 6

Agora somamos para obter a variação de entropia do universo (sistema isolado formado por cobre+água):
\Delta S_{\text{universo}}=\Delta S_{\text{Cu}}+\Delta S_{\text{H}_2\mathrm{O}} \approx -117{,}81 + 137{,}36 \approx 19{,}55\\ \mathrm{J/K}.
Comentário rápido e motivador: o resultado positivo confirma a segunda lei (a entropia do universo não diminui). O valor relativamente pequeno tem sentido porque as temperaturas finais e iniciais são próximas à escala absoluta e a quantidade de água grande faz a entropia aumentar moderadamente.

Resposta

\Delta S_{\text{universo}}\approx 19{,}6\\ \mathrm{J/K}

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