Uma máquina térmica passa por um ciclo de carnot de 427^circ C para 227^circ C. A pressão inicial é de 308,7 Psi, e durante a expansão isotérmica o volume triplica. O gás é um monoatômico e tem-se 5 mols desse gás. Pede-se a Pressão e o volume em cada ponto A B C D do processo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma máquina térmica que opera em um ciclo de Carnot, que é um modelo ideal de ciclo termodinâmico composto por duas transformações isotérmicas e duas adiabáticas. A gente precisa encontrar a pressão e o volume em cada ponto A, B, C e D desse ciclo. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica como as leis dos gases ideais e as características do ciclo de Carnot. Temos que considerar que o gás é monoatômico e que são 5 mols dele. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos converter as temperaturas dadas de Celsius para Kelvin, já que na termodinâmica trabalhamos com a escala Kelvin. A conversão é feita somando 273,15 à temperatura em Celsius.
TH = 427^circ C + 273,15 = 700,15 , K
TC = 227^circ C + 273,15 = 500,15 , K

Passo 3

Sabemos que no ciclo de Carnot há duas fases isotérmicas (isotermal expansão e compressão) e duas adiabáticas. Vamos identificar essas fases:
  • A B: Expansão isotérmica a temperatura TH.
  • B C: Expansão adiabática até a temperatura TC.
  • C D: Compressão isotérmica a temperatura TC.
  • D A: Compressão adiabática até voltar à temperatura TH.

Passo 4

Vamos usar a equação dos gases ideais para relacionar pressão, volume e temperatura:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ideais ( R = 0,0821 , L cdot atm cdot K^-1 cdot mol^-1),
  • T é a temperatura em Kelvin.
Primeiro, vamos converter a pressão inicial de Psi para atm para facilitar os cálculos ( 1 , atm = 14,696 , Psi):
PA = 308,7 , Psi14,696 , Psi/atm approx 21 , atm

Passo 5

Sabemos que durante a expansão isotérmica A B, o volume triplica. Então:
VB = 3VA
Usando a equação dos gases ideais para o ponto A:
PA VA = nRTH
E para o ponto B:
PB VB = nRTH
Como VB = 3VA, substituímos:
PB cdot 3VA = nRTH
Comparando com a equação de A:
3PB VA = PA VA Rightarrow PB = PA3 approx 213 = 7 , atm

Passo 6

Agora, vamos para a fase adiabática B C. Nas transformações adiabáticas, a seguinte relação se mantém para um gás monoatômico:
PV^gamma = constante
Onde gamma = 53 para gases monoatômicos.
Sabemos que TC = 500,15 , K e usando a relação entre temperaturas e volumes na adiabática:
TB VB^gamma - 1 = TC VC^gamma - 1
Substituindo VB = 3VA e TB = TH:
700,15 cdot (3VA)^2/3 = 500,15 cdot VC^2/3
Resolva para VC:
VC = ( 500,15700,15 )^3/2 cdot 3VA approx 1,43VA

Passo 7

Na fase isotérmica C D, a temperatura é TC e usando a equação dos gases ideais:
PC VC = nRTC
PD VD = nRTC
Mas sabemos que VD = VA (já que o ciclo fecha). Então:
PD VA = nRTC
PD = nRTCVA
Usando a equação de A:
PA VA = nRTH Rightarrow VA = nRTHPA
Substituindo na expressão de PD:
PD = nRTCnRTHPA = PA cdot TCTH approx 21 cdot 500,15700,15 approx 15 , atm

Passo 8

Finalmente, na fase adiabática D A, sabemos que o volume volta a VA e a pressão volta a PA.

Resposta

As pressões e volumes nos pontos do ciclo são:
  • Ponto A: PA = 21 , atm e VA = nRTHPA
  • Ponto B: PB = 7 , atm e VB = 3VA
  • Ponto C: PC approx 15 , atm e VC approx 1,43VA
  • Ponto D: PD approx 15 , atm e VD = VA

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