Q. 4- Uma máquina térnica funciona sequindo o ciclo mostrado abaixo. A substância de trabalho é 2,0 \mathrm{~mol} de gás hélio, que atinge uma temperatura máxima de 327^{\circ} \mathrm{C}. Considere o hélio um gás ideal. O processo 2 \rightarrow 3 é isotérmico. A pressão nos estados 1 e 3 vale 1,0 \cdot 10^{5} \mathrm{~Pa}, e a pressão no estado 2 vale 3,0 \cdot 10^{5} \mathrm{~Pa}. (a) Quanto calor entra no gás e quanto calor sai do gás a cada ciclo? (b) Quanto trabalho a máquina realiza a cada ciclo?(2,5pt)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Quanto de calor entra no gás e quanto de calor sai do gás a cada ciclo?
  2. (b) Quanto trabalho a máquina realiza a cada ciclo?
Informações dadas (todas listadas explicitamente):
  • Número de mols: n=2{,}0\\ \mathrm{mol}.
  • Temperatura máxima (no processo isotérmico 2\to3): 327^\circ\mathrm{C}.
  • O processo 2\to3 é isotérmico (logo T_2=T_3, essa é a temperatura máxima).
  • Pressão nos estados 1 e 3: p_1=p_3=1{,}0\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão no estado 2: p_2=3{,}0\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • O gás é hélio tratado como gás ideal.
Não há a figura enviada aqui, mas o enunciado diz que o ciclo é o mostrado. A informação que temos (pressões e que 2\to3 é isotérmico) é suficiente para determinar os estados se adotarmos a interpretação geométrica mais simples e consistente com essas pressões: os estados 1 e 3 têm a mesma pressão (mesma horizontal no diagrama p- V), o segmento 2\to3 é uma isotérmica ligando p_2 a p_3. A maneira mais simples e consistente de fechar o ciclo (e comumente usada em exercícios desse tipo) é:
  • 1\to2: transformação isocórica (volume constante) que aumenta a pressão de p_1 para p_2,
  • 2\to3: transformação isotérmica (dada),
  • 3\to1: transformação isobárica (pressão constante igual a p_3=p_1) fechando o ciclo.
A partir daqui sigo com essa interpretação e resolvo o ciclo passo a passo.

Passo 2

Converto a temperatura máxima para kelvin (toda conta com gás ideal usa kelvin):
T_{\max}=327^\circ\mathrm{C}=327+273=600\\ \mathrm{K}.
Como 2\to3 é isotérmico, temos
T_2=T_3=600\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Determino a temperatura em 1 usando a relação da transformação isocórica 1\to2. Se 1\to2 é isocórica, então V_1=V_2. Pela equação dos gases ideais pV=nRT aplicada aos estados 1 e 2:
\frac{p_1}{p_2}=\frac{T_1}{T_2}.
Substituindo p_1=1{,}0\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}, p_2=3{,}0\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa} e T_2=600\\ \mathrm{K}:
T_1 = T_2 \frac{p_1}{p_2} = 600\cdot\frac{1{,}0\cdot10^{5}}{3{,}0\cdot10^{5}} = 600\cdot\frac{1}{3}=200\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calculo os volumes absolutos nos estados usando pV=nRT. Vou calcular V_2 e V_3 (e V_1=V_2) porque serão úteis:
constante dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
V_2=\frac{nR T_2}{p_2}=\frac{2{,}0\cdot 8{,}314\cdot 600}{3{,}0\cdot10^{5}} =\frac{9976{,}8}{3{,}0\cdot10^{5}}=0{,}033256\\ \mathrm{m^3}.
V_3=\frac{nR T_3}{p_3}=\frac{9976{,}8}{1{,}0\cdot10^{5}}=0{,}099768\\ \mathrm{m^3}.
Confirmamos V_3/V_2 = p_2/p_3 = 3. E V_1=V_2=0{,}033256\\ \mathrm{m^3}.

Passo 5

Vou agora escrever as expressões das trocas de calor e trabalho para cada trecho, com explicação do porquê:
  • Para uma transformação isocórica (volume constante) não há trabalho: W_{1\to2}=0. O calor trocado é a variação de energia interna:
Q_{1\to2}=n C_V \Delta T.
Para gás monoatômico (hélio), C_V=\tfrac{3}{2}R.
  • Para uma isotérmica 2\to3 a temperatura é constante, a energia interna não muda ( \Delta U=0), então o calor recebido é igual ao trabalho realizado pelo gás:
Q_{2\to3}=W_{2\to3}=n R T \ln\!\left(\frac{V_3}{V_2}\right).
  • Para a isobárica 3\to1 (pressão constante p=p_3), o trabalho é
W_{3\to1}=p\,(V_1-V_3)
e o calor trocado é
Q_{3\to1}=n C_p \Delta T,
com C_p=C_V+R=\tfrac{5}{2}R para gás monoatômico.

Passo 6

Calculo Q_{1\to2}. Usando C_V=\tfrac{3}{2}R e \Delta T=T_2-T_1=600-200=400\\ \mathrm{K}:
Q_{1\to2}=n C_V \Delta T = 2{,}0\cdot\frac{3}{2}R\cdot 400 =2{,}0\cdot 1{,}5\cdot 8{,}314\cdot 400.
Faço as contas em partes: 1{,}5\cdot 8{,}314=12{,}471. Então
Q_{1\to2}=2{,}0\cdot 12{,}471\cdot 400 = 9976{,}8\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calculo Q_{2\to3}=W_{2\to3}. Usando a fórmula isotérmica com T=600\\ \mathrm{K} e V_3/V_2=3:
W_{2\to3}=n R T \ln\!\left(\frac{V_3}{V_2}\right)=9976{,}8\cdot\ln 3.
Recordando \ln 3\approx 1{,}098612:
W_{2\to3}=9976{,}8\cdot 1{,}098612 \approx 10958{,}9\\ \mathrm{J}.
Como é expansão isotérmica, esse trabalho é positivo (o gás realiza trabalho) e esse valor é também o calor absorvido nesse trecho.

Passo 8

Calculo Q_{3\to1} (isobárica). Primeiro \Delta T = T_1-T_3 = 200-600 = -400\\ \mathrm{K}. Com C_p=\tfrac{5}{2}R:
Q_{3\to1}=n C_p \Delta T = 2{,}0\cdot\frac{5}{2}R\cdot(-400) =2{,}0\cdot 2{,}5\cdot 8{,}314\cdot(-400).
Calculando: 2{,}5\cdot 8{,}314=20{,}785. Assim
Q_{3\to1}=2{,}0\cdot 20{,}785\cdot(-400) = -16628{,}0\\ \mathrm{J}.
O sinal negativo indica calor saindo do gás (liberado para a vizinhança) no trecho 3\to1.

Passo 9

Agora identifico o calor total que entra e o calor total que sai no ciclo. Entradas de calor são os trechos com Q>0: 1\to2 e 2\to3. Saídas de calor são trechos com Q<0: 3\to1.
Calor que entra por ciclo:
Q_{\text{entra}}=Q_{1\to2}+Q_{2\to3}=9976{,}8 + 10958{,}9 = 20935{,}7\\ \mathrm{J}.
Calor que sai por ciclo (módulo do calor liberado):
Q_{\text{sai}} = -Q_{3\to1}=16628{,}0\\ \mathrm{J}.

Passo 10

Calculo o trabalho realizado pela máquina em cada ciclo. Podemos usar duas formas: somar os trabalhos por trecho ou usar W_{\text{líquido}}=Q_{\text{entra}}-Q_{\text{sai}}í. Faço as duas para conferir.
  1. Soma dos trabalhos por trecho:
  • W_{1\to2}=0 (isocórico).
  • W_{2\to3}=+10958{,}9\\ \mathrm{J} (isotérmico).
  • W_{3\to1}=p(V_1-V_3)=1{,}0\cdot10^{5}\cdot(0{,}033256-0{,}099768)=-6651{,}2\\ \mathrm{J}.
Soma:
W_{\text{ciclo}}=0+10958{,}9-6651{,}2=4307{,}7\\ \mathrm{J}.
  1. Pela diferença calor recebido menos calor rejeitado:
W_{\text{ciclo}}=Q_{\text{entra}}-Q_{\text{sai}}=20935{,}7-16628{,}0=4307{,}7\\ \mathrm{J},
mesmo resultado, consistente com a primeira lei (ΔU=0 no ciclo).

Passo 11

Interpretação e arredondamento final: valores numéricos obtidos
  • Calor que entra por ciclo: Q_{\text{entra}}=20935{,}7\\ \mathrm{J} (aprox. 2{,}09\times10^{4}\\ \mathrm{J}).
  • Calor que sai por ciclo: Q_{\text{sai}}=16628{,}0\\ \mathrm{J} (aprox. 1{,}66\times10^{4}\\ \mathrm{J}).
  • Trabalho realizado por ciclo: W_{\text{ciclo}}=4307{,}7\\ \mathrm{J} (aprox. 4{,}31\times10^{3}\\ \mathrm{J}).

Resposta

Q_{\text{entra}}=2{,}09\times10^{4}\\ \mathrm{J}
Q_{\text{sai}}=1{,}66\times10^{4}\\ \mathrm{J}
W_{\text{ciclo}}=4{,}31\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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