Q. 4- Uma máquina térnica funciona sequindo o ciclo mostrado abaixo. A substância de trabalho é
de gás hélio, que atinge uma temperatura máxima de
. Considere o hélio um gás ideal. O processo
é isotérmico. A pressão nos estados 1 e 3 vale
, e a pressão no estado 2 vale
. (a) Quanto calor entra no gás e quanto calor sai do gás a cada ciclo? (b) Quanto trabalho a máquina realiza a cada ciclo?(2,5pt)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Quanto de calor entra no gás e quanto de calor sai do gás a cada ciclo?
- (b) Quanto trabalho a máquina realiza a cada ciclo?
Informações dadas (todas listadas explicitamente):
- Número de mols:
. - Temperatura máxima (no processo isotérmico
): . - O processo
é isotérmico (logo , essa é a temperatura máxima). - Pressão nos estados 1 e 3:
. - Pressão no estado 2:
. - O gás é hélio tratado como gás ideal.
Não há a figura enviada aqui, mas o enunciado diz que o ciclo é o mostrado. A informação que temos (pressões e que
é isotérmico) é suficiente para determinar os estados se adotarmos a interpretação geométrica mais simples e consistente com essas pressões: os estados 1 e 3 têm a mesma pressão (mesma horizontal no diagrama
-
), o segmento
é uma isotérmica ligando
a
. A maneira mais simples e consistente de fechar o ciclo (e comumente usada em exercícios desse tipo) é:
-
: transformação isocórica (volume constante) que aumenta a pressão de para , -
: transformação isotérmica (dada), -
: transformação isobárica (pressão constante igual a ) fechando o ciclo.
A partir daqui sigo com essa interpretação e resolvo o ciclo passo a passo.
Passo 2
Converto a temperatura máxima para kelvin (toda conta com gás ideal usa kelvin):
Como
é isotérmico, temos
Passo 3
Determino a temperatura em
usando a relação da transformação isocórica
. Se
é isocórica, então
. Pela equação dos gases ideais
aplicada aos estados 1 e 2:
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Calculo os volumes absolutos nos estados usando
. Vou calcular
e
(e
) porque serão úteis:
constante dos gases .
constante dos gases
Confirmamos
. E
.
Passo 5
Vou agora escrever as expressões das trocas de calor e trabalho para cada trecho, com explicação do porquê:
- Para uma transformação isocórica (volume constante) não há trabalho:
. O calor trocado é a variação de energia interna:
Para gás monoatômico (hélio),
.
- Para uma isotérmica
a temperatura é constante, a energia interna não muda ( ), então o calor recebido é igual ao trabalho realizado pelo gás:
- Para a isobárica
(pressão constante ), o trabalho é
e o calor trocado é
com
para gás monoatômico.
Passo 6
Calculo
. Usando
e
:
Faço as contas em partes:
. Então
Passo 7
Calculo
. Usando a fórmula isotérmica com
e
:
Recordando
:
Como é expansão isotérmica, esse trabalho é positivo (o gás realiza trabalho) e esse valor é também o calor absorvido nesse trecho.
Passo 8
Calculo
(isobárica). Primeiro
. Com
:
Calculando:
. Assim
O sinal negativo indica calor saindo do gás (liberado para a vizinhança) no trecho
.
Passo 9
Agora identifico o calor total que entra e o calor total que sai no ciclo. Entradas de calor são os trechos com
:
e
. Saídas de calor são trechos com
:
.
Calor que entra por ciclo:
Calor que sai por ciclo (módulo do calor liberado):
Passo 10
Calculo o trabalho realizado pela máquina em cada ciclo. Podemos usar duas formas: somar os trabalhos por trecho ou usar
. Faço as duas para conferir.
- Soma dos trabalhos por trecho:
-
(isocórico). -
(isotérmico). -
Soma:
- Pela diferença calor recebido menos calor rejeitado:
mesmo resultado, consistente com a primeira lei (ΔU=0 no ciclo).
Passo 11
Interpretação e arredondamento final: valores numéricos obtidos
- Calor que entra por ciclo:
(aprox. ). - Calor que sai por ciclo:
(aprox. ). - Trabalho realizado por ciclo:
(aprox. ).