Um loop quadrado de fio conduzindo corrente com lado de comprimento a está no plano x y, com a origem em seu centro. Ao longo de qual das seguintes linhas uma carga pode se mover sem sentir o efeito de uma força magnética?
Escolha uma opção:
◯ a. x=0, y=a / 2
◯ b. x=0, z=0
◯ c. x=0, y=0
◯ d. x=a / 2, y=0
◯ e. x=a / 2, y=a / 2

Passo 1

O enunciado dá um loop quadrado de fio com corrente, localizado no plano x y, com o centro do quadrado na origem e lado de comprimento a. Pergunta: ao longo de qual das linhas listadas uma carga pode se mover sem sentir a força magnética? As linhas dadas são (interpretadas como retas paramétricas ao longo do eixo restante):
a) x=0,\; y=a/2 (reta paralela ao eixo z passando pelo ponto (0,a/2,0));
b) x=0,\; z=0 (reta ao longo do eixo y, isto é, o eixo y no plano do loop);
c) x=0,\; y=0 (reta ao longo do eixo z, isto é, o eixo perpendicular ao plano do loop que passa pelo centro);
d) x=a/2,\; y=0 (reta paralela ao eixo z passando por (a/2,0,0));
e) x=a/2,\; y=a/2 (reta paralela ao eixo z passando por (a/2,a/2,0)).
Informações relevantes fornecidas:
  • O loop está no plano xy e está centrado na origem.
  • A corrente percorre o contorno quadrado (direção não especificada, mas o enunciado pressupõe um único sentido de corrente).
  • Queremos uma linha tal que uma carga que se mova ao longo dela não sinta força magnética.

Passo 2

Relembrando a lei da força magnética sobre uma carga em movimento: a força magnética é dada por
\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B},
onde q é a carga, \mathbf{v} é a velocidade da carga e \mathbf{B} é o campo magnético no ponto. Para que a carga não sinta força magnética em todos os pontos da linha considerada, precisamos que, ao mover-se ao longo dessa linha, sempre se tenha
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=\mathbf{0}.
Isto ocorre em duas situações físicas simples:
  1. a velocidade \mathbf{v} é paralela (ou antiparalela) ao campo \mathbf{B} em todos os pontos da linha, isto é, \mathbf{v}\parallel\mathbf{B};
  2. o campo magnético \mathbf{B} é nulo em todos os pontos da linha.
Portanto, a estratégia: para cada linha verificar se, ao mover-se tangencialmente a ela (isto é, no sentido da reta indicada), a velocidade ficará paralela ao \mathbf{B} ao longo de toda a reta, ou se \mathbf{B}=0 ao longo dela.

Passo 3

Usando simetria do circuito para identificar a direção do campo \mathbf{B} em alguns eixos especiais.
  • O loop é simétrico por rotações em torno do eixo z (o eixo perpendicular ao plano do loop) de 90^\circ, 180^\circ, etc.; essas rotações mapeiam o fio sobre si mesmo preservando o sentido da corrente. Portanto, qualquer ponto que esteja sobre o eixo z (ou seja, qualquer ponto com coordenadas x=0,\; y=0 e qualquer z) é um ponto invariável sob rotações ao redor de z. Assim, pelo argumento de simetria, as componentes do campo \mathbf{B} nos eixos x e y devem se anular nesse eixo: para um ponto no eixo z não existe um vetor preferido em x ou y, logo
B_x=B_y=0\quad\text{em pontos com }x=0,\;y=0.
Consequentemente, ao longo do eixo x=0,\;y=0 o campo magnético só pode ter componente na direção z, isto é, \mathbf{B} é paralelo ao eixo z ao longo dessa reta.
  • Para outras retas verticais (por exemplo x=0,y=a/2 ou x=a/2,y=0 ou x=a/2,y=a/2) não existe a mesma invariância rotacional que preserve o fio e o sentido da corrente ao redor de z. Logo não há razão de simetria para que \mathbf{B} nesses locais aponte puramente na direção z; em geral \mathbf{B} terá componentes transversais (no plano xy) nessas linhas.

Passo 4

Aplicando o critério da Passo 2 às linhas:
  • Linha x=0,\;y=0 (opção c): a velocidade de uma carga que se move ao longo dessa reta é paralela ao eixo z. Pelo Passo 3 sabemos que, nessa reta, \mathbf{B} também é paralelo ao eixo z (pode ser não-nulo, mas está somente na direção z). Assim \mathbf{v}\parallel\mathbf{B} e portanto \mathbf{v}\times\mathbf{B}=\mathbf{0} em todos os pontos dessa linha. Logo uma carga que se mova ao longo de x=0,\;y=0 não sente força magnética.
  • Qualquer outra linha vertical dada nas opções (a, d, e): a velocidade da carga seria ao longo z, mas, conforme argumentado no Passo 3, o campo \mathbf{B} nessas linhas tem em geral componentes no plano xy (isto é, não é puramente paralelo a z), portanto \mathbf{v} não será paralelo a \mathbf{B} e em geral \mathbf{v}\times\mathbf{B}\neq\mathbf{0}. Como exemplo físico intuitivo: imediatamente acima do segmento de fio mais próximo a essas retas, o campo magnético criado por esse segmento circula em torno do fio (regra da mão direita), gerando componentes que não são colineares com o movimento vertical; assim a força magnética não é nula.
  • Linha x=0,\;z=0 (opção b), ou seja o eixo y no plano do loop: cuidado com argumentos de simetria. Não existe uma rotação em torno de algum eixo que deixe inalterada a configuração de fio preservando o sentido da corrente e que fixe todos os pontos do eixo y (exceto o centro). Assim não podemos afirmar que o campo \mathbf{B} sobre toda a reta x=0,\;z=0 seja paralelo ao próprio eixo y. De fato, no ponto central (0,0,0) o campo está na direção z (veja Passo 3: o eixo z passa pelo centro), portanto já no centro a direção de \mathbf{B} não coincide com o eixo y. Assim uma carga se movendo ao longo do eixo y atravessará regiões onde \mathbf{v} não é paralelo a \mathbf{B}, gerando força magnética. Portanto a opção (b) não atende ao pedido.
Resumindo: a única reta garantida por simetria a ter \mathbf{B} sempre paralelo à direção de movimento (portanto força magnética zero) é a reta perpendicular ao plano do loop que passa pelo centro, isto é, x=0,\;y=0.

Passo 5

Breve reforço didático (como fazer isso numa prova):
  • Ao ver um loop de corrente no plano xy, pense imediatamente no eixo perpendicular ao plano (eixo z) como eixo de simetria que preserva tanto a forma quanto o sentido da corrente sob rotações; isso força \mathbf{B} a apontar ao longo desse eixo nessa reta central.
  • Use sempre a condição \mathbf{v}\times\mathbf{B}=\mathbf{0}: ou \mathbf{v}\parallel\mathbf{B} ou \mathbf{B}=\mathbf{0}. Procure por eixos de simetria que garantam que \mathbf{B} esteja na mesma direção que a velocidade ao longo da linha candidata.
  • Evite usar reflexões que invertam a orientação da corrente como argumento de simetria — reflexões que trocam o sentido da corrente não preservam a distribuição de correntes e, portanto, não são simetrias úteis para determinar componentes do campo magnético.

Resposta

c. x=0,\;y=0

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