Um motor CC de ímã permanente tem os seguintes parâmetros: R_{\mathrm{a}}=0,35 \Omega e k_{\mathrm{E}}=k_{\mathrm{T}}=0,5 em unidades MKS. O momento de inércia é J_{\mathrm{m}}=0,02 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}. Esse motor está acionando uma carga de inércia J_{\mathrm{L}}=0,04 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} e um torque de carga T_{\mathrm{L}}=2 \mathrm{Nm}. A corrente elétrica do motor não deve exceder 15 A . Calcule e trace a tensão elétrica v_{\mathrm{a}}(t), que deve ser aplicada para levar esse motor a uma velocidade estável de 300 \mathrm{rad} / \mathrm{s} o mais rápido possível, e a velocidade \omega_{\mathrm{m}}(t), como funções do tempo. Não leve em conta o efeito de L_{\mathrm{a}}.
Passo 1
Dados fornecidos (pegue estes valores do enunciado):
Resistência do indutor do rotor: R_{\mathrm{a}}=0,35\\ \Omega.
Constantes elétrico-mecânicas: k_{\mathrm{E}}=k_{\mathrm{T}}=0,5 (unidades MKS: k_{\mathrm{E}} em V/(rad/s), k_{\mathrm{T}} em Nm/A).
Momento de inércia do motor: J_{\mathrm{m}}=0,02\\ \mathrm{kg\;m^{2}}.
Momento de inércia da carga: J_{\mathrm{L}}=0,04\\ \mathrm{kg\;m^{2}}.
Torque de carga constante: T_{\mathrm{L}}=2\\ \mathrm{Nm}.
Velocidade final desejada: \omega_{\mathrm{f}}=300\\ \mathrm{rad/s}.
O que o enunciado pede:
Calcular e traçar (dar as expressões em função do tempo) a tensão aplicada v_{\mathrm{a}}(t) necessária para levar o motor o mais rápido possível até \omega_{\mathrm{f}}=300\\ \mathrm{rad/s}, sem ultrapassar I_{\max}.
Calcular e traçar a velocidade \omega_{\mathrm{m}}(t) como função do tempo.
Passo 2
Equações básicas (ignorar indutância L_{\mathrm{a}}, como pedido).
Explicação: v_{\mathrm{a}} é a tensão aplicada; i_{\mathrm{a}} é a corrente do arame do motor; R_{\mathrm{a}}\,i_{\mathrm{a}} é a queda ôhmica; k_{\mathrm{E}}\,\omega_{\mathrm{m}} é a fem contrária (back-emf).
Explicação: k_{\mathrm{T}}\,i_{\mathrm{a}} é o torque desenvolvido pelo motor; subtrai-se o torque de carga T_{\mathrm{L}}; o resultado produz aceleração angular.
Passo 3
Estratégia para atingir a velocidade “o mais rápido possível” sob limite de corrente:
Para acelerar mais rápido, usa-se o máximo torque permitido. Como k_{\mathrm{T}} relaciona corrente e torque, isso significa aplicar i_{\mathrm{a}}(t)=I_{\max} durante a fase de aceleração. Quando a velocidade desejada for atingida, reduz-se a corrente para o valor que equilibra o torque de carga (estado estacionário).
Esta estratégia é plausível porque não há outra limitação exceto I_{\max}; com L_{\mathrm{a}}=0 a corrente se ajusta instantaneamente à tensão aplicada.
Observação: no instante t_{1} a tensão necessária para manter a corrente máxima é 155,25\\ \mathrm{V}; para reduzir a corrente instantaneamente para 4\\ \mathrm{A} basta reduzir a tensão para 151,4\\ \mathrm{V} (com L_{\mathrm{a}}=0 a corrente muda instantaneamente).
Passo 10
Resumo final — funções completas (peça por peça) prontas para traçar.
Essas expressões dão curvas fáceis de traçar: \omega_{\mathrm{m}}(t) é uma reta que parte de zero com inclinação 91{,}6667 até 300\\ \mathrm{rad/s} em 3{,}2727\\ \mathrm{s}, depois constante; v_{\mathrm{a}}(t) é uma reta (soma de uma constante e um termo proporcional a t) até t_{1}, com valor final no pico 155{,}25\\ \mathrm{V}, seguido de queda imediata para 151{,}4\\ \mathrm{V} para manter o regime estacionário.]