Um motor CC de ímã permanente tem os seguintes parâmetros: R_{\mathrm{a}}=0,35 \Omega e k_{\mathrm{E}}=k_{\mathrm{T}}=0,5 em unidades MKS. O momento de inércia é J_{\mathrm{m}}=0,02 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}. Esse motor está acionando uma carga de inércia J_{\mathrm{L}}=0,04 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} e um torque de carga T_{\mathrm{L}}=2 \mathrm{Nm}. A corrente elétrica do motor não deve exceder 15 A . Calcule e trace a tensão elétrica v_{\mathrm{a}}(t), que deve ser aplicada para levar esse motor a uma velocidade estável de 300 \mathrm{rad} / \mathrm{s} o mais rápido possível, e a velocidade \omega_{\mathrm{m}}(t), como funções do tempo. Não leve em conta o efeito de L_{\mathrm{a}}.

Passo 1

Dados fornecidos (pegue estes valores do enunciado):
  • Resistência do indutor do rotor: R_{\mathrm{a}}=0,35\\ \Omega.
  • Constantes elétrico-mecânicas: k_{\mathrm{E}}=k_{\mathrm{T}}=0,5 (unidades MKS: k_{\mathrm{E}} em V/(rad/s), k_{\mathrm{T}} em Nm/A).
  • Momento de inércia do motor: J_{\mathrm{m}}=0,02\\ \mathrm{kg\;m^{2}}.
  • Momento de inércia da carga: J_{\mathrm{L}}=0,04\\ \mathrm{kg\;m^{2}}.
  • Torque de carga constante: T_{\mathrm{L}}=2\\ \mathrm{Nm}.
  • Corrente máxima permitida: I_{\max}=15\\ \mathrm{A}.
  • Velocidade final desejada: \omega_{\mathrm{f}}=300\\ \mathrm{rad/s}.
    O que o enunciado pede:
  • Calcular e traçar (dar as expressões em função do tempo) a tensão aplicada v_{\mathrm{a}}(t) necessária para levar o motor o mais rápido possível até \omega_{\mathrm{f}}=300\\ \mathrm{rad/s}, sem ultrapassar I_{\max}.
  • Calcular e traçar a velocidade \omega_{\mathrm{m}}(t) como função do tempo.

Passo 2

Equações básicas (ignorar indutância L_{\mathrm{a}}, como pedido).
  • Equação elétrica (regime instantâneo, L_{\mathrm{a}}=0):
v_{\mathrm{a}}(t)=R_{\mathrm{a}}\,i_{\mathrm{a}}(t)+k_{\mathrm{E}}\,\omega_{\mathrm{m}}(t).
Explicação: v_{\mathrm{a}} é a tensão aplicada; i_{\mathrm{a}} é a corrente do arame do motor; R_{\mathrm{a}}\,i_{\mathrm{a}} é a queda ôhmica; k_{\mathrm{E}}\,\omega_{\mathrm{m}} é a fem contrária (back-emf).
  • Equação mecânica (torque e dinâmica rotacional):
J\;\dfrac{d\omega_{\mathrm{m}}}{dt}=k_{\mathrm{T}}\,i_{\mathrm{a}}(t)-T_{\mathrm{L}},
onde J é a inércia total vista pelo motor:
J=J_{\mathrm{m}}+J_{\mathrm{L}}.
Explicação: k_{\mathrm{T}}\,i_{\mathrm{a}} é o torque desenvolvido pelo motor; subtrai-se o torque de carga T_{\mathrm{L}}; o resultado produz aceleração angular.

Passo 3

Estratégia para atingir a velocidade “o mais rápido possível” sob limite de corrente:
  • Para acelerar mais rápido, usa-se o máximo torque permitido. Como k_{\mathrm{T}} relaciona corrente e torque, isso significa aplicar i_{\mathrm{a}}(t)=I_{\max} durante a fase de aceleração. Quando a velocidade desejada for atingida, reduz-se a corrente para o valor que equilibra o torque de carga (estado estacionário).
  • Esta estratégia é plausível porque não há outra limitação exceto I_{\max}; com L_{\mathrm{a}}=0 a corrente se ajusta instantaneamente à tensão aplicada.

Passo 4

Calcule constantes numéricas úteis.
  • Inércia total:
J=J_{\mathrm{m}}+J_{\mathrm{L}}=0,02+0,04=0,06\\ \mathrm{kg\;m^{2}}.
  • Torque máximo do motor com I_{\max}:
T_{\max}=k_{\mathrm{T}}\,I_{\max}=0,5\cdot15=7,5\\ \mathrm{Nm}.
  • Torque líquido disponível para acelerar (durante aceleração com corrente máxima):
T_{\mathrm{net}}=T_{\max}-T_{\mathrm{L}}=7,5-2=5,5\\ \mathrm{Nm}.

Passo 5

Aceleração angular constante durante a fase de corrente máxima.
  • Aceleração angular \alpha (constante) obtida por:
\alpha=\dfrac{T_{\mathrm{net}}}{J}=\dfrac{5,5}{0,06}.
Calcule numericamente:
\alpha=\dfrac{5,5}{0,06}=91,666\ldots\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
(Usarei \alpha\approx91{,}6667\\ \mathrm{rad/s^{2}}.)

Passo 6

Tempo necessário para atingir a velocidade desejada \omega_{\mathrm{f}} sob aceleração constante \alpha.
  • Como partimos de repouso ( \omega(0)=0) e \omega(t)=\alpha t durante aceleração máxima, o tempo t_{1} para alcançar \omega_{\mathrm{f}} é:
t_{1}=\dfrac{\omega_{\mathrm{f}}}{\alpha}=\dfrac{300}{91{,}6667}.
Calcule numericamente:
t_{1}\approx3{,}2727\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Expressão da velocidade \omega_{\mathrm{m}}(t) (fase de aceleração e fase estacionária).
  • Durante aceleração ( 0\le t\le t_{1}):
\omega_{\mathrm{m}}(t)=\alpha\,t.
Substituindo \alpha:
\omega_{\mathrm{m}}(t)\approx91{,}6667\,t\quad(0\le t\le3{,}2727\\ \mathrm{s}).
  • Após atingir \omega_{\mathrm{f}} ( t\ge t_{1}), mantém-se a velocidade constante:
\omega_{\mathrm{m}}(t)=\omega_{\mathrm{f}}=300\\ \mathrm{rad/s}\quad(t\ge3{,}2727\\ \mathrm{s}).

Passo 8

Corrente durante cada fase.
  • Durante aceleração (para acelerar o mais rápido possível) fixamos:
i_{\mathrm{a}}(t)=I_{\max}=15\\ \mathrm{A}\quad(0\le t\le t_{1}).
  • Em regime permanente (velocidade mantida) a corrente necessária para equilibrar o torque de carga é:
i_{\mathrm{ss}}=\dfrac{T_{\mathrm{L}}}{k_{\mathrm{T}}}=\dfrac{2}{0,5}=4\\ \mathrm{A}.

Passo 9

Tensão v_{\mathrm{a}}(t) a aplicar em cada fase usando v_{\mathrm{a}}=R_{\mathrm{a}} i_{\mathrm{a}}+k_{\mathrm{E}}\omega.
  • Durante aceleração ( 0\le t\le t_{1}): i_{\mathrm{a}}=15\\ \mathrm{A} e \omega(t)=\alpha t, logo
v_{\mathrm{a}}(t)=R_{\mathrm{a}}\,I_{\max}+k_{\mathrm{E}}\,\alpha\,t.
Substituindo numericamente R_{\mathrm{a}}=0,35, I_{\max}=15, k_{\mathrm{E}}=0,5, \alpha\approx91{,}6667:
v_{\mathrm{a}}(t)=0,35\cdot15+0,5\cdot91{,}6667\,t=5,25+45{,}8333\,t\quad( \mathrm{V}).
  • Valor no instante de parada da aceleração t_{1}:
v_{\mathrm{a}}(t_{1})=5,25+0,5\cdot300=5,25+150=155,25\\ \mathrm{V}.
  • Em regime permanente ( t\ge t_{1}): usar i_{\mathrm{ss}}=4\\ \mathrm{A} e \omega=\omega_{\mathrm{f}}=300\\ \mathrm{rad/s}. Então
v_{\mathrm{a}}(t)=R_{\mathrm{a}}\,i_{\mathrm{ss}}+k_{\mathrm{E}}\,\omega_{\mathrm{f}}=0,35\cdot4+0,5\cdot300=1,4+150=151,4\\ \mathrm{V}.
Observação: no instante t_{1} a tensão necessária para manter a corrente máxima é 155,25\\ \mathrm{V}; para reduzir a corrente instantaneamente para 4\\ \mathrm{A} basta reduzir a tensão para 151,4\\ \mathrm{V} (com L_{\mathrm{a}}=0 a corrente muda instantaneamente).

Passo 10

Resumo final — funções completas (peça por peça) prontas para traçar.
  • Velocidade:
\omega_{\mathrm{m}}(t)= \begin{cases} 91{,}6667\,t, & 0\le t\le 3{,}2727\\ \mathrm{s},\\[4pt] 300, & t\ge 3{,}2727\\ \mathrm{s}. \end{cases}
  • Tensão aplicada:
v_{\mathrm{a}}(t)= \begin{cases} 5{,}25+45{,}8333\,t\\ \mathrm{V}, & 0\le t\le 3{,}2727\\ \mathrm{s},\\[4pt] 151{,}4\\ \mathrm{V}, & t\ge 3{,}2727\\ \mathrm{s}. \end{cases}
Essas expressões dão curvas fáceis de traçar: \omega_{\mathrm{m}}(t) é uma reta que parte de zero com inclinação 91{,}6667 até 300\\ \mathrm{rad/s} em 3{,}2727\\ \mathrm{s}, depois constante; v_{\mathrm{a}}(t) é uma reta (soma de uma constante e um termo proporcional a t) até t_{1}, com valor final no pico 155{,}25\\ \mathrm{V}, seguido de queda imediata para 151{,}4\\ \mathrm{V} para manter o regime estacionário.]

Resposta

\omega_{\mathrm{m}}(t)=\begin{cases}91{,}6667\,t, & 0\le t\le 3{,}2727\\ \mathrm{s},\\[4pt]300, & t\ge 3{,}2727\\ \mathrm{s}.\end{cases}
\;v_{\mathrm{a}}(t)=\begin{cases}5{,}25+45{,}8333\,t\\ \mathrm{V}, & 0\le t\le 3{,}2727\\ \mathrm{s},\\[4pt]151{,}4\\ \mathrm{V}, & t\ge 3{,}2727\\ \mathrm{s}.\end{cases}]

Exercícios relacionados