As máquinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A porcentagem de parafusos defeituosos produzidos, respectivamente, pelas máquinas A e B é de 15 % e de 5 %. Foram misturados, numa caixa 100 parafusos produzidos por A e 100 produzidos por B. Se tirarmos um parafuso ao acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A é de:
(a) 10 %
(b) 15 %
© 30 %
(d) 50 %
(e) 75 %

Passo 1

Beleza, o exercício tá assim: temos duas máquinas (A e B) que fazem parafusos. A taxa de parafuso ruim (defeituoso) de A é de 15 % e a de B é de 5 %. Colocamos 100 parafusos de A e 100 de B numa caixa. Se a gente tira um parafuso aleatório e ele é defeituoso, qual a chance de ele ter vindo da máquina A?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar entender como funciona a “probabilidade total” e depois aplicar Bayes para inverter a condição.

Passo 2

Primeiro, define as probabilidades básicas:
  • P(A) = probabilidade de escolher um parafuso da máquina A = 100/(100+100) = 0{,}5
  • P(B) = probabilidade de escolher um parafuso da máquina B = 0{,}5
  • P(D|A) = prob. dele ser defeituoso dado que veio de A = 15 % = 0{,}15
  • P(D|B) = prob. dele ser defeituoso dado que veio de B = 5 % = 0{,}05
Aqui “D” é o evento “parafuso defeituoso”.

Passo 3

Agora a gente precisa da probabilidade total de tirar um parafuso defeituoso, P(D).
Pela regra da probabilidade total:
P(D) ;=; P(Dmid A),P(A) ;+; P(Dmid B),P(B)
Substituindo:
P(D) = 0,15cdot 0,5 ;+; 0,05cdot 0,5 = 0,075 ;+; 0,025 = 0,10

Passo 4

Finalmente, aplicamos o Teorema de Bayes pra achar P(A|D), ou seja, a chance de ter vindo da A sabendo que é defeituoso:
P(Amid D) = P(Dmid A),P(A)P(D) = 0,15 times 0,50,10 = 0,0750,10 = 0,75
Em porcentagem, isso é 75 %.

Resposta

A probabilidade de o parafuso defeituoso ter sido produzido pela máquina A é de 75 % (alternativa e).

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