As máquinas térmicas transformam a energia interna de um combustível em energia mecânica. De acordo com a 2^a Lei da Termodinâmica, não é possível construir uma máquina térmica que transforme toda a energia interna do combustível em trabalho, isto é, uma máquina de rendimento igual a 1 ou equivalente a 100 %. Mostre que o rendimento máximo obtido por uma máquina térmica operando entre as temperaturas T1 (fonte quente) e T2 (fonte fria) é dado por: eta=1-T2T1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma máquina térmica que transforma a energia interna de um combustível em trabalho mecânico. A 2ª Lei da Termodinâmica diz que não dá para transformar toda essa energia em trabalho, ou seja, o rendimento nunca pode ser 100%. A pergunta quer que a gente mostre que o rendimento máximo dessa máquina operando entre duas temperaturas, eta = 1 - T2T1 (fonte quente) e (fonte fria), é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é rendimento, como funciona uma máquina térmica e aplicar os princípios da 2ª Lei da Termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é rendimento ( eta = WQ1 ). O rendimento de uma máquina térmica é a relação entre o trabalho útil que ela realiza ( ) e a quantidade de calor fornecida pela fonte quente ( ):
Isso nos diz quão eficiente a máquina é em converter calor em trabalho.

Passo 3

Agora, segundo a 2ª Lei da Termodinâmica, existe um limite para esse rendimento quando a máquina opera de forma reversível, ou seja, sem perdas. Esse é o rendimento máximo possível, conhecido como rendimento de Carnot. Para uma máquina operando entre duas temperaturas etaCarnot = 1 - T2T1 e , o rendimento de Carnot é:
Onde e estão em Kelvin.

Passo 4

Vamos ver por que essa fórmula faz sentido. Imagine que parte do calor Q1 = W + Q2 é transformado em trabalho eta = WQ1 = 1 - Q2Q1 e o restante é rejeitado para a fonte fria Q2Q1 = T2T1 :
A partir disso, podemos expressar o rendimento como:
Segundo a 2ª Lei, para a máquina operar de forma reversível, as proporções dos calores trocados estão relacionadas às temperaturas das fontes:

Passo 5

Substituindo essa relação na fórmula do rendimento, temos:
eta = 1 - T2T1
Isso mostra que o rendimento máximo que uma máquina térmica pode alcançar, operando entre as temperaturas e , é exatamente .

Resposta

O rendimento máximo da máquina térmica é dado por:
eta = 1 - T2T1

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