As máquinas térmicas transformam a energia interna de um combustível em energia mecânica. De acordo com a
Lei da Termodinâmica, não é possível construir uma máquina térmica que transforme toda a energia interna do combustível em trabalho, isto é, uma máquina de rendimento igual a 1 ou equivalente a
. Mostre que o rendimento máximo obtido por uma máquina térmica operando entre as temperaturas
(fonte quente) e
(fonte fria) é dado por:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma máquina térmica que transforma a energia interna de um combustível em trabalho mecânico. A 2ª Lei da Termodinâmica diz que não dá para transformar toda essa energia em trabalho, ou seja, o rendimento nunca pode ser 100%. A pergunta quer que a gente mostre que o rendimento máximo dessa máquina operando entre duas temperaturas,
(fonte quente) e
(fonte fria), é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é rendimento, como funciona uma máquina térmica e aplicar os princípios da 2ª Lei da Termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é rendimento (
). O rendimento de uma máquina térmica é a relação entre o trabalho útil que ela realiza (
) e a quantidade de calor fornecida pela fonte quente (
):
Isso nos diz quão eficiente a máquina é em converter calor em trabalho.
Passo 3
Agora, segundo a 2ª Lei da Termodinâmica, existe um limite para esse rendimento quando a máquina opera de forma reversível, ou seja, sem perdas. Esse é o rendimento máximo possível, conhecido como rendimento de Carnot. Para uma máquina operando entre duas temperaturas
e
, o rendimento de Carnot é:
Onde
e
estão em Kelvin.
Passo 4
Vamos ver por que essa fórmula faz sentido. Imagine que parte do calor
é transformado em trabalho
e o restante é rejeitado para a fonte fria
:
A partir disso, podemos expressar o rendimento como:
Segundo a 2ª Lei, para a máquina operar de forma reversível, as proporções dos calores trocados estão relacionadas às temperaturas das fontes:
Passo 5
Substituindo essa relação na fórmula do rendimento, temos:
Isso mostra que o rendimento máximo que uma máquina térmica pode alcançar, operando entre as temperaturas
e
, é exatamente
.
Resposta
O rendimento máximo da máquina térmica é dado por: