O maquinista de um trem de passageiros que viaja com velocidade
avista um trem de carga cuja traseira se encontra a 350 m de distância da frente do trem de passageiros. O trem de carga se desloca no mesmo sentido do trem de passageiros com velocidade
. O maquinista do trem de passageiros imediatamente aciona o freio, produzindo uma aceleração constante igual a
, enquanto o trem de carga contínua com a mesma velocidade. Considere
como o local onde se encontra a frente do trem de passageiros quando o freio é acionado.
Caso a resposta anterior seja positiva, em que ponto ocorrerá a colisão?
Caso a resposta anterior seja positiva, em que ponto ocorrerá a colisão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois trens que estão se movendo na mesma direção. Temos um trem de passageiros com velocidade $ v_p = 30 , m/s $ e um trem de carga com velocidade $ v_c = 18 , m/s $. Quando o maquinista do trem de passageiros vê que o trem de carga está a 350 metros de distância, ele freia com uma aceleração constante de $ a = -0,20 , m/s^2 $. A gente quer descobrir em que ponto vai acontecer uma colisão, se é que vai acontecer. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente variado.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a posição inicial. Vamos considerar que $ x = 0 $ é o ponto onde a frente do trem de passageiros está quando ele começa a frear. Assim, a posição inicial do trem de carga é $ x_c(0) = 350 , m $.
Passo 3
Agora, vamos escrever as equações de movimento para os dois trens. Para o trem de passageiros, que está desacelerando, a posição em função do tempo é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Para o trem de carga, que está se movendo com velocidade constante, a posição em função do tempo é:
Passo 5
A colisão vai acontecer quando as posições dos dois trens forem iguais, ou seja, quando $ x_p(t) = x_c(t) $. Então, igualamos as duas equações:
Passo 6
Vamos rearranjar a equação para formar uma equação quadrática:
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por -10 para eliminar o decimal:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ t^2 - 120 t + 3500 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -120 $ e $ c = 3500 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 8
Agora, calculamos as raízes:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 9
Vamos verificar qual tempo faz sentido no contexto. Como estamos lidando com o instante em que o aluno aciona os freios, o tempo que nos interessa é o primeiro instante em que ocorre a colisão, ou seja, $ t = 50 , s $.
Passo 10
Agora, vamos encontrar a posição onde ocorre a colisão. Podemos usar a equação de posição do trem de carga:
Resposta
A colisão ocorrerá a $ 1250 , metros $ do ponto onde o freio foi acionado.