O maquinista de um trem de passageiros que viaja com velocidade v p=30 m / s avista um trem de carga cuja traseira se encontra a 350 m de distância da frente do trem de passageiros. O trem de carga se desloca no mesmo sentido do trem de passageiros com velocidade v c=18 m / s. O maquinista do trem de passageiros imediatamente aciona o freio, produzindo uma aceleração constante igual a -0,20 m / s^2, enquanto o trem de carga contínua com a mesma velocidade. Considere x=0 como o local onde se encontra a frente do trem de passageiros quando o freio é acionado.
Caso a resposta anterior seja positiva, em que ponto ocorrerá a colisão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois trens que estão se movendo na mesma direção. Temos um trem de passageiros com velocidade $ v_p = 30 , m/s $ e um trem de carga com velocidade $ v_c = 18 , m/s $. Quando o maquinista do trem de passageiros vê que o trem de carga está a 350 metros de distância, ele freia com uma aceleração constante de $ a = -0,20 , m/s^2 $. A gente quer descobrir em que ponto vai acontecer uma colisão, se é que vai acontecer. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a posição inicial. Vamos considerar que $ x = 0 $ é o ponto onde a frente do trem de passageiros está quando ele começa a frear. Assim, a posição inicial do trem de carga é $ x_c(0) = 350 , m $.

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações de movimento para os dois trens. Para o trem de passageiros, que está desacelerando, a posição em função do tempo é:
xp(t) = vp t + 12 a t^2
Substituindo os valores:
xp(t) = 30 t + 12 (-0,20) t^2 = 30 t - 0,10 t^2

Passo 4

Para o trem de carga, que está se movendo com velocidade constante, a posição em função do tempo é:
xc(t) = xc(0) + vc t = 350 + 18 t

Passo 5

A colisão vai acontecer quando as posições dos dois trens forem iguais, ou seja, quando $ x_p(t) = x_c(t) $. Então, igualamos as duas equações:
xp(t) = xc(t)

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para formar uma equação quadrática:
-0,10 t^2 + 30 t - 18 t - 350 = 0
-0,10 t^2 + 12 t - 350 = 0
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por -10 para eliminar o decimal:
t^2 - 120 t + 3500 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ t^2 - 120 t + 3500 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
t^2 - 120 t + 3500 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -120 $ e $ c = 3500 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Passo 8

Agora, calculamos as raízes:
t = 120 pm raiz4002 = 120 pm 202
Isso nos dá duas soluções:
t1 = 120 + 202 = 70 , s
t2 = 120 - 202 = 50 , s

Passo 9

Vamos verificar qual tempo faz sentido no contexto. Como estamos lidando com o instante em que o aluno aciona os freios, o tempo que nos interessa é o primeiro instante em que ocorre a colisão, ou seja, $ t = 50 , s $.

Passo 10

Agora, vamos encontrar a posição onde ocorre a colisão. Podemos usar a equação de posição do trem de carga:
xc(t) = 350 + 18 t = 350 + 18 times 50 = 350 + 900 = 1250 , m

Resposta

A colisão ocorrerá a $ 1250 , metros $ do ponto onde o freio foi acionado.

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