Maria e João decidem se encontrar em certo local. Se cada um deles chega independentemente em um tempo uniformemente distribuído entre entre meio dia e uma hora da tarde, determine a probabilidade de que o primeiro a chegar tenha que esperar mais de 15 minutos.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, ao combinarem de se encontrar entre meio-dia e 13h, o primeiro que chegar tenha que esperar mais de 15 minutos pelo outro. Informações dadas e notação que vou usar:
- Cada um chega em um instante aleatório e independente, uniformemente distribuído entre meio-dia e 13h.
- Vou medir tempo em minutos a partir de meio-dia, então os instantes de chegada serão as variáveis
(Maria) e (João), ambas com distribuição uniforme em . - O tempo de espera do primeiro a chegar é a diferença de tempo entre as chegadas; portanto o evento “o primeiro a chegar espera mais de 15 minutos” corresponde a
.
A partir daqui vou calcular.
Passo 2
Modelo e ideia geométrica (aulas rápidas do que estamos usando): como
e
são independentes e uniformes em
, o par
tem distribuição uniforme sobre o quadrado
. Em problemas assim a probabilidade de um evento corresponde à razão entre a área da região favorável e a área total do quadrado.
- Área total do quadrado:
- Portanto, se
é a região onde , então
Passo 3
Estratégia prática: é mais fácil calcular o complemento
(a banda de largura 15 para cima e 15 para baixo da diagonal
) e então subtrair de 1. Ou seja,
Passo 4
Cálculo da área da banda
. Geometricamente, essa banda é o quadrado inteiro menos dois triângulos congruentes nos cantos opostos onde
. Cada triângulo tem catetos de comprimento
, porque a reta
intercepta o lado superior do quadrado em
e a reta
intercepta o lado direito em
. Assim a área de cada triângulo é
As duas juntas têm área
Logo a área da banda (região com
) é a área total menos essas duas áreas:
Passo 5
Probabilidade do complemento (diferença menor ou igual a 15):
Agora simplifico a fração. Dividindo numerador e denominador por
obtém-se
Passo 6
Finalmente a probabilidade pedida: