Maria e João decidem se encontrar em certo local. Se cada um deles chega independentemente em um tempo uniformemente distribuído entre entre meio dia e uma hora da tarde, determine a probabilidade de que o primeiro a chegar tenha que esperar mais de 15 minutos.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao combinarem de se encontrar entre meio-dia e 13h, o primeiro que chegar tenha que esperar mais de 15 minutos pelo outro. Informações dadas e notação que vou usar:
  • Cada um chega em um instante aleatório e independente, uniformemente distribuído entre meio-dia e 13h.
  • Vou medir tempo em minutos a partir de meio-dia, então os instantes de chegada serão as variáveis T_M (Maria) e T_J (João), ambas com distribuição uniforme em [0,60].
  • O tempo de espera do primeiro a chegar é a diferença de tempo entre as chegadas; portanto o evento “o primeiro a chegar espera mais de 15 minutos” corresponde a |T_M-T_J|>15.
    A partir daqui vou calcular \mathbb{P}(|T_M-T_J|>15).

Passo 2

Modelo e ideia geométrica (aulas rápidas do que estamos usando): como T_M e T_J são independentes e uniformes em [0,60], o par (T_M,T_J) tem distribuição uniforme sobre o quadrado [0,60]\times[0,60]. Em problemas assim a probabilidade de um evento corresponde à razão entre a área da região favorável e a área total do quadrado.
  • Área total do quadrado: \;60\times60=3600.
  • Portanto, se A é a região onde |T_M-T_J|>15, então
\mathbb{P}(|T_M-T_J|>15)=\frac{\text{área}(A)}{3600}.á

Passo 3

Estratégia prática: é mais fácil calcular o complemento \mathbb{P}(|T_M-T_J|\le15) (a banda de largura 15 para cima e 15 para baixo da diagonal T_M=T_J) e então subtrair de 1. Ou seja,
\mathbb{P}(|T_M-T_J|>15)=1-\mathbb{P}(|T_M-T_J|\le15).

Passo 4

Cálculo da área da banda \{(x,y)\in[0,60]^2:\\ |x-y|\le15\}. Geometricamente, essa banda é o quadrado inteiro menos dois triângulos congruentes nos cantos opostos onde |x-y|>15. Cada triângulo tem catetos de comprimento 60-15=45, porque a reta y=x+15 intercepta o lado superior do quadrado em (45,60) e a reta y=x-15 intercepta o lado direito em (60,45). Assim a área de cada triângulo é
\frac{1}{2}\cdot 45\cdot 45=\frac{45^2}{2}.
As duas juntas têm área
2\cdot\frac{45^2}{2}=45^2=2025.
Logo a área da banda (região com |x-y|\le15) é a área total menos essas duas áreas:
\text{área banda}=3600-2025=1575.á

Passo 5

Probabilidade do complemento (diferença menor ou igual a 15):
\mathbb{P}(|T_M-T_J|\le15)=\frac{1575}{3600}.
Agora simplifico a fração. Dividindo numerador e denominador por 225 obtém-se
\frac{1575}{3600}=\frac{7}{16}=0{,}4375.

Passo 6

Finalmente a probabilidade pedida:
\mathbb{P}(|T_M-T_J|>15)=1-\frac{7}{16}=\frac{9}{16}=0{,}5625.

Resposta

\dfrac{9}{16}

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