Sendo X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição Uniforme Contínua em ( \alpha, \beta ), obtenha a densidade de Z=X+Y condicional ao evento de que X>1 / 2.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informações dadas:
    • X e Y são variáveis aleatórias independentes.
    • Ambas têm distribuição Uniforme Contínua em (\alpha,\beta). Ou seja, para x\in(\alpha,\beta), f_X(x)=\frac{1}{\beta-\alpha},e analogamente para Y.
    • Consideramos o evento \{X>1/2\}.
  • O que é pedido:
    • Obter a densidade de Z=X+Y condicional ao evento \{X>1/2\}, isto é, calcular f_{Z\mid X>1/2}(z).
Observação importante (informação do enunciado que influencia a validade): se \beta\le 1/2 então P(X>1/2)=0 e a condição não faz sentido. Vou assumir que \beta>1/2. Além disso é útil definir
L=\max\{\alpha,\tfrac{1}{2}\},
que será o limite inferior efetivo do suporte de X após a condição X>1/2.

Passo 2

Primeiro, calculemos a probabilidade do evento e a densidade condicional de [X).
  • Como X\sim\text{Uniforme}(\alpha,\beta) e assumindo \beta>1/2, temos
    P(X>1/2)=\frac{\beta-L}{\beta-\alpha},
    pois o comprimento do intervalo em que X>1/2 é \beta-L.
  • A densidade de X condicionada a \{X>1/2\} é, pela definição de densidade condicional (dividindo a densidade por P(X>1/2) no intervalo permitido),
    f_{X\mid X>1/2}(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{\beta-L}, & x\in(L,\beta),\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Expliquei: a densidade uniforme original vale \dfrac{1}{\beta-\alpha}\] no suporte; ao condicionar, normalizamos apenas no intervalo \((L,\beta), resultando em \dfrac{1}{\beta-L} nesse intervalo.]

Passo 3

Agora, usamos a fórmula geral para densidade condicional de soma quando condicionamos em X. Para qualquer evento A que dependa só de X,
f_{Z\mid A}(z)=\int f_{Z\mid X=x,A}(z)\,f_{X\mid A}(x)\,dx.
Aqui A=\{X>1/2\}. Como X e Y são independentes, dada X=x (e independentemente de A) temos Z=x+Y, logo a densidade de Z condicional a X=x é simplesmente a densidade de Y deslocada:
f_{Z\mid X=x}(z)=f_Y(z-x).
Portanto
f_{Z\mid X>1/2}(z)=\int_{L}^{\beta} f_Y(z-x)\,f_{X\mid X>1/2}(x)\,dx.

Passo 4

Substituímos as densidades uniformes. Para y\in(\alpha,\beta) temos f_Y(y)=\dfrac{1}{\beta-\alpha}, caso contrário é zero. Assim
f_{Z\mid X>1/2}(z)=\int_{L}^{\beta} \frac{1}{\beta-\alpha}\,\mathbf{1}_{\{z-x\in(\alpha,\beta)\}}\cdot\frac{1}{\beta-L}\,dx,
onde \mathbf{1}_{\{\cdot\}} é a função indicadora (vale 1 se a condição for verdadeira, 0 caso contrário).
Reescrevendo de modo mais compacto:
f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{1}{(\beta-L)(\beta-\alpha)}\int_{L}^{\beta}\mathbf{1}_{\{x\in(z-\beta,\;z-\alpha)\}}\,dx.
A integral da indicadora sobre x é simplesmente o comprimento da interseção dos intervalos (L,\beta) e (z-\beta,\;z-\alpha). Portanto
f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{\bigl|\,(L,\beta)\cap(z-\beta,\;z-\alpha)\,\bigr|}{(\beta-L)(\beta-\alpha)},
onde |\cdot| denota comprimento do intervalo (tomando 0 se a interseção é vazia).

Passo 5

Agora transformamos a expressão geométrica em uma forma peça-a-peça explícita. A interseção (L,\beta)\cap(z-\beta,\;z-\alpha) tem extremos
\text{lower}=\max\{L,\;z-\beta\},\qquad \text{upper}=\min\{\beta,\;z-\alpha\},
e comprimento \text{upper}-\text{lower} se for positivo, caso contrário 0. Logo
f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{\max\{0,\;\min(\beta,z-\alpha)-\max(L,z-\beta)\}}{(\beta-L)(\beta-\alpha)}.
Para escrever de forma mais interpretável, identificamos as regiões de z em que essa quantidade cresce, fica constante ou decresce. O suporte possível de Z sob a condição é z\in(L+\alpha,\;2\beta). Dividindo em três faixas (considerando os pontos críticos z=L+\alpha, z=\alpha+\beta, z=L+\beta, z=2\beta) obtemos:
  • Se z\le L+\alpha ou z\ge 2\beta, então f_{Z\mid X>1/2}(z)=0.
  • Para L+\alpha<z<\alpha+\beta temos z-\beta<L e z-\alpha<\beta, então
    \min(\beta,z-\alpha)=z-\alpha,\qquad \max(L,z-\beta)=L,
    e portanto
    f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{z-(\alpha+L)}{(\beta-L)(\beta-\alpha)}.
  • Para \alpha+\beta\le z< L+\beta (esta faixa existe somente se \alpha<L, i.e., \alpha<1/2) temos z-\alpha\ge\beta e z-\beta<L, então
    \min(\beta,z-\alpha)=\beta,\qquad \max(L,z-\beta)=L,
    e assim
    f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{\beta-L}{(\beta-L)(\beta-\alpha)}=\frac{1}{\beta-\alpha}.
    (Se \alpha\ge 1/2 então L=\alpha e essa faixa some.)
  • Para L+\beta\le z<2\beta temos z-\beta\ge L e z-\alpha\ge\beta, então
    \min(\beta,z-\alpha)=\beta,\qquad \max(L,z-\beta)=z-\beta,
    e
    f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{2\beta-z}{(\beta-L)(\beta-\alpha)}.
Essas três expressões descrevem a “forma triangular com possível platô” típica da soma de duas uniformes, mas aqui truncada pela condição X>1/2. Lembre que L=\max\{\alpha,1/2\}.

Passo 6

Resumo final da densidade condicional em forma peça-a-peça (com L=\max\{\alpha,\tfrac{1}{2}\} e assumindo \beta>1/2):
Para z\in\mathbb{R},
f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{\max\{0,\;\min(\beta,z-\alpha)-\max(L,z-\beta)\}}{(\beta-L)(\beta-\alpha)}.
Alternativamente, em forma explícita por intervalos:
  • Se z\le L+\alpha ou z\ge 2\beta, então f_{Z\mid X>1/2}(z)=0.
  • Se L+\alpha<z<\alpha+\beta, então
    f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{z-(\alpha+L)}{(\beta-L)(\beta-\alpha)}.
  • Se \alpha+\beta\le z< L+\beta (essa faixa existe só se \alpha<1/2), então
    f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{1}{\beta-\alpha}.
  • Se L+\beta\le z<2\beta, então
    f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{2\beta-z}{(\beta-L)(\beta-\alpha)}.
Isto é tudo: a expressão compacta por interseção dá a resposta válida para qualquer \alpha,\beta com \beta>1/2; as fórmulas por faixas mostram a forma explícita (triangular com possível platô quando \alpha<1/2).

Resposta

f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{\max\{0,\;\min(\beta,z-\alpha)-\max(L,z-\beta)\}}{(\beta-L)(\beta-\alpha)},
com L=\max\{\alpha,\tfrac{1}{2}\} e assumindo \beta>1/2.
\
Equivalente em forma peça-a-peça (com L=\max\{\alpha,\tfrac{1}{2}\}):
Se z\le L+\alpha ou z\ge 2\beta, então f_{Z\mid X>1/2}(z)=0.
Se L+\alpha<z<\alpha+\beta,
f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{z-(\alpha+L)}{(\beta-L)(\beta-\alpha)}.
Se \alpha+\beta\le z< L+\beta (apenas se \alpha<1/2),
f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{1}{\beta-\alpha}.
Se L+\beta\le z<2\beta,
f_{Z\mid X>1/2}(z)=\frac{2\beta-z}{(\beta-L)(\beta-\alpha)}.

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