Sendo X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição Uniforme Contínua em ( \alpha, \beta ), obtenha a densidade de Z=X+Y condicional ao evento de que X>1 / 2.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Informações dadas:
X e Y são variáveis aleatórias independentes.
Ambas têm distribuição Uniforme Contínua em (\alpha,\beta). Ou seja, para x\in(\alpha,\beta),f_X(x)=\frac{1}{\beta-\alpha},e analogamente para Y.
Consideramos o evento \{X>1/2\}.
O que é pedido:
Obter a densidade de Z=X+Y condicional ao evento \{X>1/2\}, isto é, calcularf_{Z\mid X>1/2}(z).
Observação importante (informação do enunciado que influencia a validade): se \beta\le 1/2 então P(X>1/2)=0 e a condição não faz sentido. Vou assumir que \beta>1/2. Além disso é útil definir
L=\max\{\alpha,\tfrac{1}{2}\},
que será o limite inferior efetivo do suporte de X após a condição X>1/2.
Passo 2
Primeiro, calculemos a probabilidade do evento e a densidade condicional de [X).
Como X\sim\text{Uniforme}(\alpha,\beta) e assumindo \beta>1/2, temos
P(X>1/2)=\frac{\beta-L}{\beta-\alpha},
pois o comprimento do intervalo em que X>1/2 é \beta-L.
A densidade de X condicionada a \{X>1/2\} é, pela definição de densidade condicional (dividindo a densidade por P(X>1/2) no intervalo permitido),
Expliquei: a densidade uniforme original vale \dfrac{1}{\beta-\alpha}\] no suporte; ao condicionar, normalizamos apenas no intervalo \((L,\beta), resultando em \dfrac{1}{\beta-L} nesse intervalo.]
Passo 3
Agora, usamos a fórmula geral para densidade condicional de soma quando condicionamos em X. Para qualquer evento A que dependa só de X,
Aqui A=\{X>1/2\}. Como X e Y são independentes, dada X=x (e independentemente de A) temos Z=x+Y, logo a densidade de Z condicional a X=x é simplesmente a densidade de Y deslocada:
Para escrever de forma mais interpretável, identificamos as regiões de z em que essa quantidade cresce, fica constante ou decresce. O suporte possível de Z sob a condição é z\in(L+\alpha,\;2\beta). Dividindo em três faixas (considerando os pontos críticos z=L+\alpha, z=\alpha+\beta, z=L+\beta, z=2\beta) obtemos:
Se z\le L+\alpha ou z\ge 2\beta, então f_{Z\mid X>1/2}(z)=0.
Para L+\alpha<z<\alpha+\beta temos z-\beta<L e z-\alpha<\beta, então
Essas três expressões descrevem a “forma triangular com possível platô” típica da soma de duas uniformes, mas aqui truncada pela condição X>1/2. Lembre que L=\max\{\alpha,1/2\}.
Passo 6
Resumo final da densidade condicional em forma peça-a-peça (com L=\max\{\alpha,\tfrac{1}{2}\} e assumindo \beta>1/2):
Isto é tudo: a expressão compacta por interseção dá a resposta válida para qualquer \alpha,\beta com \beta>1/2; as fórmulas por faixas mostram a forma explícita (triangular com possível platô quando \alpha<1/2).