Maria solta uma pedra que cai em um poço. Maria ouve o som da pedra atingir o fundo do poço 9 s depois de abandonar a pedra. Admitindo uma aceleração da gravidade igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e a velocidade do som no ar de 320 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a profundidade do poço.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a profundidade do poço, sabendo que Maria solta uma pedra e ouve o som do impacto 9\\ \text{s} depois. Informações dadas:
  • Tempo total desde soltar a pedra até ouvir o som: 9\\ \text{s}.
  • Aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Velocidade do som no ar: v = 320\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Quantidade a encontrar: profundidade do poço (denotar por h, em metros).

Passo 2

Vamos definir variáveis claras (muito importante para não se perder na prova):
  • h é a profundidade do poço (m).
  • t_1 é o tempo que a pedra leva para cair até o fundo (s).
  • t_2 é o tempo que o som demora para subir do fundo até os ouvidos de Maria (s).
Esses tempos satisfazem a relação
t_1 + t_2 = 9.

Passo 3

Agora, escrevemos as expressões para t_1 e t_2 usando física básica:
  • Queda livre a partir do repouso: a posição h é dada por h = \tfrac{1}{2} g t_1^{2}. Aqui g é a aceleração da gravidade e t_1 é o tempo de queda. Isolando t_1 obtemos
t_1 = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
Expliquei: essa fórmula vem da equação do movimento uniformemente acelerado s = s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2. Como v_0=0 e tomando s_0=0, s=h, a=g, temos h=\tfrac{1}{2} g t_1^2.
  • Tempo do som subindo: o som percorre distância h com velocidade v, logo
t_2 = \dfrac{h}{v}.

Passo 4

Substituindo t_1 e t_2 na relação do tempo total:
\sqrt{\dfrac{2h}{g}} + \dfrac{h}{v} = 9.
Agora substituímos os valores numéricos de g e v: g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} e v=320\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. Assim
\sqrt{\dfrac{2h}{10}} + \dfrac{h}{320} = 9.
Simplificando \dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}, fica
\sqrt{\dfrac{h}{5}} + \dfrac{h}{320} = 9.

Passo 5

Para resolver essa equação não-linear é prático introduzir x=\sqrt{h}. Assim h=x^{2} e \sqrt{\dfrac{h}{5}}=\dfrac{x}{\sqrt{5}}. Substituindo:
\dfrac{x}{\sqrt{5}} + \dfrac{x^{2}}{320} = 9.
Multiplicando ambos os lados por 320 (para eliminar denominadores):
320\cdot\dfrac{x}{\sqrt{5}} + x^{2} = 2880.
Reescrevendo como uma equação quadrática em x:
x^{2} + \dfrac{320}{\sqrt{5}}\,x - 2880 = 0.

Passo 6

Agora vamos resolver essa quadrática. Antes de aplicar a fórmula, observe que \dfrac{320}{\sqrt{5}} pode ser reescrito como 64\sqrt{5} porque \dfrac{320}{\sqrt{5}}=\dfrac{320\sqrt{5}}{5}=64\sqrt{5}. Então a equação é
x^{2} + 64\sqrt{5}\,x - 2880 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} com a=1, b=64\sqrt{5}, c=-2880.

Passo 7

Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2} - 4ac = (64\sqrt{5})^{2} - 4\cdot 1\cdot(-2880).
(64\sqrt{5})^{2} = 64^{2}\cdot 5 = 4096\cdot 5 = 20480,
logo
\Delta = 20480 + 11520 = 32000.
Observação simpática: \sqrt{32000}=80\sqrt{5}, pois (80\sqrt{5})^{2}=6400\cdot5=32000.

Passo 8

Agora as raízes:
x = \dfrac{-64\sqrt{5} \pm 80\sqrt{5}}{2}.
Fatorando \sqrt{5} e dividindo por 2:
  • Com o sinal +: x = \dfrac{(-64+80)\sqrt{5}}{2} = \dfrac{16\sqrt{5}}{2} = 8\sqrt{5}.
  • Com o sinal -: x = \dfrac{(-64-80)\sqrt{5}}{2} = \dfrac{-144\sqrt{5}}{2} = -72\sqrt{5}.
Como x=\sqrt{h} deve ser não-negativo, rejeitamos a raiz negativa. Assim
x = 8\sqrt{5}.

Passo 9

Voltando para h: h = x^{2} = (8\sqrt{5})^{2} = 64\cdot 5 = 320. Portanto a profundidade é 320\\ \mathrm{m}.
Vamos checar os tempos para ficar seguro:
  • Tempo de queda t_1 = \sqrt{\dfrac{h}{5}} = \sqrt{\dfrac{320}{5}} = \sqrt{64} = 8\\ \text{s}.
  • Tempo do som t_2 = \dfrac{h}{320} = \dfrac{320}{320} = 1\\ \text{s}.
    Total t_1+t_2=8+1=9\\ \text{s}, como pedido — conferido!

Resposta

\displaystyle 320\\ \mathrm{m}

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