Maria solta uma pedra que cai em um poço. Maria ouve o som da pedra atingir o fundo do poço
depois de abandonar a pedra. Admitindo uma aceleração da gravidade igual a
e a velocidade do som no ar de
, determine a profundidade do poço.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a profundidade do poço, sabendo que Maria solta uma pedra e ouve o som do impacto
depois. Informações dadas:
- Tempo total desde soltar a pedra até ouvir o som:
. - Aceleração da gravidade:
. - Velocidade do som no ar:
. - Quantidade a encontrar: profundidade do poço (denotar por
, em metros).
Passo 2
Vamos definir variáveis claras (muito importante para não se perder na prova):
-
é a profundidade do poço (m). -
é o tempo que a pedra leva para cair até o fundo (s). -
é o tempo que o som demora para subir do fundo até os ouvidos de Maria (s).
Esses tempos satisfazem a relação
Passo 3
Agora, escrevemos as expressões para
e
usando física básica:
- Queda livre a partir do repouso: a posição
é dada por . Aqui é a aceleração da gravidade e é o tempo de queda. Isolando obtemos
Expliquei: essa fórmula vem da equação do movimento uniformemente acelerado
. Como
e tomando
,
,
, temos
.
- Tempo do som subindo: o som percorre distância
com velocidade , logo
Passo 4
Substituindo
e
na relação do tempo total:
Agora substituímos os valores numéricos de
e
:
e
. Assim
Simplificando
, fica
Passo 5
Para resolver essa equação não-linear é prático introduzir
. Assim
e
. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
(para eliminar denominadores):
Reescrevendo como uma equação quadrática em
:
Passo 6
Agora vamos resolver essa quadrática. Antes de aplicar a fórmula, observe que
pode ser reescrito como
porque
. Então a equação é
Aplicando a fórmula de Bhaskara
com
,
,
.
Passo 7
Calculamos o discriminante:
logo
Observação simpática:
, pois
.
Passo 8
Agora as raízes:
Fatorando
e dividindo por
:
- Com o sinal
: - Com o sinal
:
Como
deve ser não-negativo, rejeitamos a raiz negativa. Assim
Passo 9
Voltando para
:
. Portanto a profundidade é
.
Vamos checar os tempos para ficar seguro:
- Tempo de queda
- Tempo do som
Total, como pedido — conferido!