Mário recebeu certa quantia por um trabalho realizado e fez três despesas: gastou 20% da quantia recebida, depois gastou 30 \% do restante e, em seguida, gastou 40 \% do restante. Em relação à quantia recebida, o gasto total de Mário foi:
a) 50 \%;
b) 58,6 \%;
c) 66,4 \%;
d) 75,2 \%;
e) 90 \%.

Passo 1

O enunciado diz que Mário recebeu certa quantia (vou chamar essa quantia de A) e fez três despesas em sequência:
  • primeiro gastou 20\% da quantia recebida;
  • depois gastou 30\% do restante que sobrou após a primeira despesa;
  • em seguida gastou 40\% do restante após a segunda despesa.
A pergunta é: qual foi, em relação à quantia recebida A, o gasto total de Mário? O enunciado oferece cinco alternativas (a) a (e) para escolher.
Informações relevantes que temos:
  • quantia inicial: A (valor arbitrário, não preciso conhecê-lo numericamente);
  • despesas sucessivas: 20\% de A, depois 30\% do que restou, depois 40\% do que restou após a segunda despesa.

Passo 2

Estratégia de resolução (explicada de forma simples e escolhida por ser direta):
  • Quando se gasta uma porcentagem do que resta, o que sobra é o complemento dessa porcentagem multiplicado pelo montante atual. Por exemplo, gastar 20\% deixa 80\% do original, isto é, multiplica por 1-0{,}20=0{,}80.
  • Assim, posso acompanhar o restante multiplicando por (1 - \text{percentual}) a cada passo. Essa é uma forma algébrica simples e segura; depois faço uma checagem numérica com A=100 para intuição.

Passo 3

Primeiro entendimento de porcentagens como frações decimais (mini-aula):
  • 20\% significa 20 por 100, ou seja 0{,}20.
  • Em geral, gastar \,p\% do que se tem deixa uma fração de 1 - \dfrac{p}{100} do valor.
  • Para este problema:
    • gastar 20\% deixa 1-0{,}20 = 0{,}80 do valor;
    • depois gastar 30\% do que sobrou deixa 1-0{,}30 = 0{,}70 do que havia naquele momento;
    • depois gastar 40\% do que sobrou deixa 1-0{,}40 = 0{,}60 do que havia naquele momento.

Passo 4

Aplicando isso ao montante inicial A:
  • Após a primeira despesa (gastar 20\% de A), o que resta é
\text{resto}_1 = 0{,}80\,A.
  • Após a segunda despesa (gastar 30\% do que restou), o que resta é
\text{resto}_2 = 0{,}70\cdot\text{resto}_1 = 0{,}70\cdot(0{,}80\,A) = 0{,}56\,A.

Passo 5

Continuando para a terceira despesa (gastar 40\% do que restou):
\text{resto}_3 = 0{,}60\cdot\text{resto}_2 = 0{,}60\cdot(0{,}56\,A) = 0{,}336\,A.
Também se pode ver como produto direto das frações que permanecem:
\text{resto final} = 0{,}80 \times 0{,}70 \times 0{,}60 \times A = 0{,}336\,A.

Passo 6

Agora, o gasto total em relação a A é a diferença entre o inicial e o que sobrou:
\text{gasto total} = A - \text{resto final} = A - 0{,}336\,A = 0{,}664\,A.
Convertendo a fração 0{,}664 para porcentagem:
0{,}664 = 66{,}4\%.

Passo 7

Verificação numérica (para ficar mais concreto — escolha A=100 funciona bem em porcentagens):
  • Começando com 100: primeiro gasta 20\%\Rightarrow 20, resta 80.
  • Depois gasta 30\% de 80\Rightarrow 24, resta 56.
  • Depois gasta 40\% de 56\Rightarrow 22{,}4, resta 33{,}6.
  • Total gasto =20+24+22{,}4=66{,}4, ou seja 66{,}4\% de 100. Confere com o cálculo algébrico.

Passo 8

Resumo final do raciocínio em palavras (para a prova): quando se aplica porcentagens sucessivas sobre o que resta, multiplica-se pelas frações complementares. O resto final é 0{,}80\cdot0{,}70\cdot0{,}60=0{,}336 do inicial, então foi gasto 1-0{,}336=0{,}664, isto é, 66{,}4\% do valor recebido.

Resposta

c) 66{,}4\%

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