Mário recebeu certa quantia por um trabalho realizado e fez três despesas: gastou 20% da quantia recebida, depois gastou
do restante e, em seguida, gastou
do restante. Em relação à quantia recebida, o gasto total de Mário foi:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado diz que Mário recebeu certa quantia (vou chamar essa quantia de
) e fez três despesas em sequência:
- primeiro gastou
da quantia recebida; - depois gastou
do restante que sobrou após a primeira despesa; - em seguida gastou
do restante após a segunda despesa.
A pergunta é: qual foi, em relação à quantia recebida
, o gasto total de Mário? O enunciado oferece cinco alternativas (a) a (e) para escolher.
Informações relevantes que temos:
- quantia inicial:
(valor arbitrário, não preciso conhecê-lo numericamente); - despesas sucessivas:
de , depois do que restou, depois do que restou após a segunda despesa.
Passo 2
Estratégia de resolução (explicada de forma simples e escolhida por ser direta):
- Quando se gasta uma porcentagem do que resta, o que sobra é o complemento dessa porcentagem multiplicado pelo montante atual. Por exemplo, gastar
deixa do original, isto é, multiplica por . - Assim, posso acompanhar o restante multiplicando por
a cada passo. Essa é uma forma algébrica simples e segura; depois faço uma checagem numérica com para intuição.
Passo 3
Primeiro entendimento de porcentagens como frações decimais (mini-aula):
-
significa por , ou seja . - Em geral, gastar
do que se tem deixa uma fração de do valor. - Para este problema:
- gastar
deixa do valor; - depois gastar
do que sobrou deixa do que havia naquele momento; - depois gastar
do que sobrou deixa do que havia naquele momento.
- gastar
Passo 4
Aplicando isso ao montante inicial
:
- Após a primeira despesa (gastar
de ), o que resta é
- Após a segunda despesa (gastar
do que restou), o que resta é
Passo 5
Continuando para a terceira despesa (gastar
do que restou):
Também se pode ver como produto direto das frações que permanecem:
Passo 6
Agora, o gasto total em relação a
é a diferença entre o inicial e o que sobrou:
Convertendo a fração
para porcentagem:
Passo 7
Verificação numérica (para ficar mais concreto — escolha
funciona bem em porcentagens):
- Começando com
: primeiro gasta , resta . - Depois gasta
de , resta . - Depois gasta
de , resta . - Total gasto
, ou seja de . Confere com o cálculo algébrico.
Passo 8
Resumo final do raciocínio em palavras (para a prova): quando se aplica porcentagens sucessivas sobre o que resta, multiplica-se pelas frações complementares. O resto final é
do inicial, então foi gasto
, isto é,
do valor recebido.
Resposta
c)