Mark MecGwire bate uma bola de beisebol de forma que ela abandona o bastão com velocidade de
formando um ângulo de
acima da horizontal. Despreze a resistência do ar. a) Ache os dois instantes para os quais a altura da bola está a
acima do nível inicial. b) Calcule o componente vertical e o componente horizontal da velocidade da bola em cada um dos dois tempos calculados. c) Determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade da bola quando ela retorna ao nível inicial.
Resp.:
a)
b)
c)
a)
c)
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados:
- Velocidade inicial:
. - Ângulo de lançamento acima da horizontal:
. - Desprezar resistência do ar.
- Aceleração da gravidade:
apontando para baixo. - Queremos instantes em que a altura vale
, as componentes da velocidade nesses instantes e a velocidade (módulo, direção e sentido) quando a bola retorna ao nível inicial.
O que o enunciado pergunta:
a) Os dois instantes tais que a altura
.
b) Para cada um desses instantes, o componente horizontal e o componente vertical da velocidade.
c) Ao retornar ao nível inicial: o módulo da velocidade, a direção (ângulo medido em relação à horizontal) e o sentido (se aponta para cima ou para baixo).
a) Os dois instantes
b) Para cada um desses instantes, o componente horizontal e o componente vertical da velocidade.
c) Ao retornar ao nível inicial: o módulo da velocidade, a direção (ângulo medido em relação à horizontal) e o sentido (se aponta para cima ou para baixo).
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é essencial para resolver qualquer movimento oblíquo sem resistência do ar.
Definição das componentes:
Explicando:
é a parte da velocidade ao longo da horizontal (não muda com o tempo porque não há aceleração horizontal),
é a parte da velocidade na vertical (muda com o tempo por causa da gravidade).
Calculemos numericamente usando
e
. Para
os valores são próximos de
e
(essas aproximações decorrem de uma trigonometria conhecida; verifica-se que
e
, e
está suficientemente próximo).
Então:
Passo 3
Equação do movimento vertical (origem da altura no ponto de lançamento,
):
Explicando: a posição vertical cresce inicialmente devido a
e diminui devido à aceleração
. Aqui a convenção adotada é positiva para cima.
Para achar os instantes em que
, substituímos:
Simplificando os coeficientes (
):
Multiplicando por
para ficar na forma padrão:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática com a fórmula de Bhaskara:
Calculemos o discriminante:
Raiz do discriminante:
Logo as raízes são
Interpretação:
é o instante na subida em que a bola passa por
,
é o instante na descida.
Passo 5
Agora calculamos as componentes da velocidade nos instantes encontrados.
A componente horizontal é constante:
A componente vertical varia linearmente:
Calcule em
:
Calcule em
:
Sinais:
(subindo),
(descendo).
Passo 6
Agora parte (c): velocidade quando a bola retorna ao nível inicial
(além de
).
Tempo de voo total
obtido pela condição
(não nulo). Para movimento simétrico sem resistência:
(Verificação: essa é a outra raiz da equação
.)
Componentes da velocidade em
:
Ou seja, a componente vertical é igual em magnitude e oposta à componente inicial (simetria do lançamento).
Passo 7
Cálculo do módulo e da direção da velocidade no retorno ao nível inicial.
Módulo:
Direção (ângulo em relação à horizontal, positivo para cima): usar arco-tangente
Interpretação do sinal:
indica que a velocidade forma um ângulo de
abaixo da horizontal, ou seja, o sentido é para baixo e para frente (componente horizontal positiva e vertical negativa).
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)